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Dichte Verteilung Zufallsvariablen ergaenzt

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Christian Bay 2015-10-02 11:55:37 +02:00
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Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex
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@ -371,8 +371,8 @@ $f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$
Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\
$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
\subsection{Geometrische Verteilung}
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines
Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten
eines Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\
$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
\subsection{Uniform-Verteilung $\mathcal{U}(a,b)$}
\textbf{Dichtefunktion}:
@ -393,8 +393,25 @@ $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
\section{Zufallsvarriablen}
\subsection{Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen}
siehe L\"osungssammlung Aufgabe 98 ff.
\textbf{Problembeschreibung}: Berechnung von Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses $(X_1 > a * X_2)$ o.\"a.
Zufallsvariablen $X_1, X_2$ sind dabei stochastisch
unabh\"angig. Die Verteilungen von $X_i$ haben dabei die Dichten
$f_i$.\\
Somit gilt nach der Marginalsdichte: $f(x_1,x_2) = f_1(x_1)*f_2(x_2)$.
\begin{align}
P(X_1 > a * X_2) = \int \int_{x_1>a*x_2} f_1(x_1)*f_2(x_2) dx_1dx_2 := I
\end{align}
In Abh\"angigkeit von Reihenfolge, in der die Integration \"uber die Variablen
$x_1$ und $x_2$ durchgef"uhrt werden, ergeben sich zwei Darstellungen:
\begin{align}
I = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x_1)F_2(\frac{1}{a}x_1)dx_1\\
I = \int_{-\infty}^{\infty} f_2(x_2)(1 - F_1(ax_2))dx_2
\end{align}
Siehe auch L\"osungssammlung Aufgabe $98$ ff.
\subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen}
Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf
einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ existiert,