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Umlaute!
This commit is contained in:
Christian Bay
parent
f87c58695a
commit
897d6e854a
@ -2,7 +2,8 @@
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\usepackage{amsmath}
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||||
\usepackage{amssymb}
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% -------- Umlaute korrekt ----------------
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage[latin1, utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman, english]{babel}
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%-------------------------------------------
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@ -32,7 +33,7 @@
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\frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade}
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\end{cases}
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\]
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Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht.
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Wobei der Index f\"ur die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht.
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\subsection{empirische Varianz}
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\[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\]
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\subsection{Gleichgewichtsverteilung}
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@ -60,11 +61,11 @@ Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} st
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\end{pmatrix}\right ]
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^{-1}
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\]
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Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert.
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Wobei P die \"Ubergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert.
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\section{Regressionsgerade}
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\subsection{Gauss'sche Normalengleichung}
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Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung geloest.
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Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung gel\"ost.
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\begin{align}
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\begin{pmatrix}
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\sum x_i^2 & \sum x_i \\
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@ -86,12 +87,12 @@ Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung geloest.
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||||
\end{align}
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\subsection{Maximum-Likelyhood Methode}
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\textbf{Problembeschreibung}: Man moechte fuer einen unbekannten Parameter $\lambda$
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einer Verteilung, die mindestens einen Paramter besitzt, einen Schaetzwert bestimmen
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\textbf{Problembeschreibung}: Man m\"ochte f\"ur einen unbekannten Parameter $\lambda$
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||||
einer Verteilung, die mindestens einen Paramter besitzt, einen Sch\"atzwert bestimmen
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mithilfe einer konkreten Stichprobe $(x_1, \ldots, x_n)$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Likelihood-Funktion $L(\lambda)$ bilden fuer gegebene Verteilung
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||||
\item Likelihood-Funktion $L(\lambda)$ bilden f\"ur gegebene Verteilung
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\begin{align}
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||||
L(\lambda) = L(x_1, \ldots, x_n; \lambda) = = \prod_{i=1}^n
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||||
\underbrace{f}_{\text{Dichtefunktion}}(x_i, \lambda)\\
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||||
@ -101,17 +102,17 @@ mithilfe einer konkreten Stichprobe $(x_1, \ldots, x_n)$.
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||||
\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n * e^{-\lambda * \sum_{i=1}^{n}x_i}
|
||||
\end{align}
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||||
\item Funktion $L(\lambda)$ mit $\ln$ multiplizieren\\
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||||
Rechenregeln fuer $\ln$:
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||||
Rechenregeln f\"ur $\ln$:
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\begin{itemize}
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||||
\item $\ln a^b = b * \ln a$
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||||
\item $\ln (a*b) = \ln a + \ln b$
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||||
\end{itemize}
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||||
\item Ableiten nach $\lambda$: $\frac{\partial \ln * L(\lambda)}{\partial \lambda}$
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||||
\item Funktion gleich $0$ setzen und nach $\lambda$ aufloesen.
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||||
\item Funktion gleich $0$ setzen und nach $\lambda$ aufl\"osen.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\subsection{Konfidenzintervalle}
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Standartwerte fuer Konfidenz:
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||||
Standartwerte f\"ur Konfidenz:
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\begin{align*}
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||||
90\%:z = 1.65\\
|
||||
95\%:z = 1.96\\
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||||
@ -138,10 +139,10 @@ o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},
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||||
\{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$
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||||
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||||
\section{Wahrscheinlichkeiten}
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||||
\subsection{Wuerfeln}
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||||
\subsection{W\"urfeln}
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\subsubsection{keine 6}
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||||
\[
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||||
p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe}
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||||
p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der W\"urfe}
|
||||
\]
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||||
\subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)}
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||||
\[
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||||
@ -153,16 +154,16 @@ o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},
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||||
\[
|
||||
p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i
|
||||
\]
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||||
\subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln}
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||||
$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\
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||||
dann wieder ueber Gegenereignis: \\
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||||
\subsubsection{6er-Pasch bei 2 W\"urfeln}
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||||
$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl g\"unstiger Ereignisse = 1 , n\"ahmlich (6,6)}$\\
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||||
dann wieder \"uber Gegenereignis: \\
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||||
\[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \]
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||||
\subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen}
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||||
\subsubsection{genau eine 6 bei n-W\"urfeln/W\"urfen}
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||||
\[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\
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||||
- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\
|
||||
- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtm\"oglichkeiten \\
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||||
- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\
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||||
- es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten
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||||
\subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen}
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||||
- es bleiben bei den verbleibenden n-1 W\"urfen 5 M\"oglichkeiten
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||||
\subsubsection{genau x-6er bei n-W\"urfeln/W\"urfen}
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||||
\[ p= \frac{\begin{pmatrix}
|
||||
x\\n
|
||||
\end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\
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||||
@ -170,7 +171,7 @@ dann wieder ueber Gegenereignis: \\
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||||
x\\n
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||||
\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}
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||||
\]\\
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||||
$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[
|
||||
$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl M\"oglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei W\"urfel):}$\[
|
||||
p= \frac{\begin{pmatrix}
|
||||
x\\n
|
||||
\end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n}
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||||
@ -219,25 +220,26 @@ Ereignis $B$: Test identifiziert Person als krank.\\
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||||
|
||||
\vspace*{10pt}
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||||
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||||
Loesung mittels \textbf{Formel von Bayes}:
|
||||
L\"osung mittels \textbf{Formel von Bayes}:
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||||
\begin{align}
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||||
P(B_k/A) = \frac{P(A|B_k) * P(B_k)}{\sum_{j \in J} P(A|B_j) * P(B_j)}
|
||||
\end{align}
|
||||
Dieser Vorgang wird auch \textbf{Rueckwaertsinduktion} genannt. Angenommen man
|
||||
Dieser Vorgang wird auch \textbf{R\"uckw\"artsinduktion} genannt. Angenommen man
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||||
kennt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis unter einer gewissen Bedingung (hier Test
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||||
schlaegt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund
|
||||
schl\"agt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund
|
||||
$P(B|A_2)$), dann kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit
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||||
mit dieser Formel berechnen. Hier: Wie wahrscheinlich ist es, dass Person krank ist, unter
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||||
Bedingung, dass Test das gemeldet hat $P(A_1|B)$.
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||||
\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen}
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||||
\[
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||||
P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}}
|
||||
P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen
|
||||
UND min. eine 6}}{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen}}
|
||||
\]\\
|
||||
\[
|
||||
p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!}
|
||||
\]
|
||||
bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[
|
||||
bei 3 W\"urfeln also z.B.:\[
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||||
p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5
|
||||
\]
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||||
|
||||
@ -247,7 +249,7 @@ bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[
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||||
und logischerweise:
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||||
\[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \]
|
||||
\subsection{Absoluten Momente diskreter Verteilungen}
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||||
Ist fuer $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$,
|
||||
Ist f\"ur $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$,
|
||||
so heisst
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||||
\begin{align}
|
||||
m_k = m_k(P) = \sum_{x \in X} x^kf(x)
|
||||
@ -264,7 +266,7 @@ das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P.
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||||
M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n)
|
||||
\]
|
||||
- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\
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||||
- 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$
|
||||
- 'n' k\"onnte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$
|
||||
\subsection{Erzeugende Funktion}
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||||
\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen}
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||||
\textbf{Gegegeben:} Eine erzeugende Funktion $\hat{f}(z)$ gegeben.
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||||
@ -273,13 +275,13 @@ das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P.
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||||
\end{align}
|
||||
\textbf{Gesucht:} Die Funktion $f(k)$
|
||||
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||||
Moeglichkeit 1: Taylorentwicklung
|
||||
M\"oglichkeit 1: Taylorentwicklung
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||||
\begin{align}
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||||
\hat{f}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\hat{f}^{(k)}(0)z^k\\
|
||||
\Rightarrow f(k) = \frac{1}{k!} \hat{f}^{k}(0)
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Moeglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zurueckfuehren (z.B. geometrische
|
||||
M\"oglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zur\"uckf\"uhren (z.B. geometrische
|
||||
Reihe)
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||||
\subsubsection{Mittelwert $m_1$}
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||||
\begin{align}
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||||
@ -288,7 +290,7 @@ Reihe)
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||||
\end{align}
|
||||
\subsubsection{Varianz $\hat{m}_2$}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Zuerst \textbf{zweites Moment} berechnen:
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||||
\item Z\"urst \textbf{zweites Moment} berechnen:
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||||
\begin{align}
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||||
m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1)\\
|
||||
\end{align}
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||||
@ -315,8 +317,8 @@ Reihe)
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||||
\text{mit k = 0,1,2,...,n} \]
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||||
- wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B.
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||||
wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2"
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||||
\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis
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||||
\\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen
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\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit f\"ur ein positives Ereigbnis
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\\ - n ist Anz\"ahl wie oft wir ziehen
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||||
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||||
\subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten}
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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler
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@ -324,7 +326,7 @@ sind?
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\[
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||||
1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k,p,n) \enspace mit \enspace \] \\
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||||
k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500
|
||||
(wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass
|
||||
(wir ziehen Fehler "ohne zur\"ucklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass
|
||||
ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\
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||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{split}
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||||
@ -337,7 +339,7 @@ ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\subsection{Possion-Verteilung}
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||||
\subsubsection{Allgemein}
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||||
Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen
|
||||
Ereignisse m\"ussen mit konstanter Rate, unabh\"angig voneinander und in einem festen
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||||
Bereich (Modell) stattfinden!
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||||
\[
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||||
P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda}
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||||
@ -370,7 +372,7 @@ Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kuge
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||||
$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
|
||||
\subsection{Geometrische Verteilung}
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||||
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines
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||||
Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\
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||||
Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\
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||||
$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
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||||
\subsection{Uniform-Verteilung $\mathcal{U}(a,b)$}
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||||
\textbf{Dichtefunktion}:
|
||||
@ -391,7 +393,7 @@ $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
|
||||
|
||||
\section{Zufallsvarriablen}
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||||
\subsection{Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen}
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||||
siehe Loesungssammlung Aufgabe 98 ff.
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||||
siehe L\"osungssammlung Aufgabe 98 ff.
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\subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen}
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||||
Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf
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@ -418,7 +420,7 @@ Marginaldichte:
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||||
& = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} )
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
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||||
Gegebenenfalls koennen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist.
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||||
Gegebenenfalls konnen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist.
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||||
Damit $f(x_1,x_2)$ und $f_2(x_2)$ Dichten sind muss gelten:
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\[
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||||
\int f_2(x_2) dx_2 = 1
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||||
|
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