From 908844cbbd8d3242d654865a69a2192fc9080cb7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Christian Bay Date: Fri, 2 Oct 2015 11:55:37 +0200 Subject: [PATCH] Dichte Verteilung Zufallsvariablen ergaenzt --- Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex | 25 +++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 21 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex index a9d5912..85396f8 100644 --- a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex +++ b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -371,8 +371,8 @@ $f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$ Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\ $f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ \subsection{Geometrische Verteilung} -Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines -Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\ +Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten +eines Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\ $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ \subsection{Uniform-Verteilung $\mathcal{U}(a,b)$} \textbf{Dichtefunktion}: @@ -393,8 +393,25 @@ $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ \section{Zufallsvarriablen} \subsection{Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen} - siehe L\"osungssammlung Aufgabe 98 ff. - +\textbf{Problembeschreibung}: Berechnung von Wahrscheinlichkeit des +Ereignisses $(X_1 > a * X_2)$ o.\"a. +Zufallsvariablen $X_1, X_2$ sind dabei stochastisch +unabh\"angig. Die Verteilungen von $X_i$ haben dabei die Dichten +$f_i$.\\ +Somit gilt nach der Marginalsdichte: $f(x_1,x_2) = f_1(x_1)*f_2(x_2)$. + +\begin{align} + P(X_1 > a * X_2) = \int \int_{x_1>a*x_2} f_1(x_1)*f_2(x_2) dx_1dx_2 := I +\end{align} +In Abh\"angigkeit von Reihenfolge, in der die Integration \"uber die Variablen +$x_1$ und $x_2$ durchgef"uhrt werden, ergeben sich zwei Darstellungen: + +\begin{align} + I = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x_1)F_2(\frac{1}{a}x_1)dx_1\\ + I = \int_{-\infty}^{\infty} f_2(x_2)(1 - F_1(ax_2))dx_2 +\end{align} +Siehe auch L\"osungssammlung Aufgabe $98$ ff. + \subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen} Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ existiert,