diff --git a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex index 4821bb0..a9d5912 100644 --- a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex +++ b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -2,7 +2,8 @@ \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} % -------- Umlaute korrekt ---------------- -\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{ngerman} +\usepackage[latin1, utf8]{inputenc} \usepackage[ngerman, english]{babel} %------------------------------------------- @@ -32,7 +33,7 @@ \frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade} \end{cases} \] -Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht. +Wobei der Index f\"ur die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht. \subsection{empirische Varianz} \[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\] \subsection{Gleichgewichtsverteilung} @@ -60,11 +61,11 @@ Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} st \end{pmatrix}\right ] ^{-1} \] -Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert. +Wobei P die \"Ubergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert. \section{Regressionsgerade} \subsection{Gauss'sche Normalengleichung} -Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung geloest. +Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung gel\"ost. \begin{align} \begin{pmatrix} \sum x_i^2 & \sum x_i \\ @@ -86,12 +87,12 @@ Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung geloest. \end{align} \subsection{Maximum-Likelyhood Methode} -\textbf{Problembeschreibung}: Man moechte fuer einen unbekannten Parameter $\lambda$ -einer Verteilung, die mindestens einen Paramter besitzt, einen Schaetzwert bestimmen +\textbf{Problembeschreibung}: Man m\"ochte f\"ur einen unbekannten Parameter $\lambda$ +einer Verteilung, die mindestens einen Paramter besitzt, einen Sch\"atzwert bestimmen mithilfe einer konkreten Stichprobe $(x_1, \ldots, x_n)$. \begin{enumerate} - \item Likelihood-Funktion $L(\lambda)$ bilden fuer gegebene Verteilung + \item Likelihood-Funktion $L(\lambda)$ bilden f\"ur gegebene Verteilung \begin{align} L(\lambda) = L(x_1, \ldots, x_n; \lambda) = = \prod_{i=1}^n \underbrace{f}_{\text{Dichtefunktion}}(x_i, \lambda)\\ @@ -101,17 +102,17 @@ mithilfe einer konkreten Stichprobe $(x_1, \ldots, x_n)$. \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n * e^{-\lambda * \sum_{i=1}^{n}x_i} \end{align} \item Funktion $L(\lambda)$ mit $\ln$ multiplizieren\\ - Rechenregeln fuer $\ln$: + Rechenregeln f\"ur $\ln$: \begin{itemize} \item $\ln a^b = b * \ln a$ \item $\ln (a*b) = \ln a + \ln b$ \end{itemize} \item Ableiten nach $\lambda$: $\frac{\partial \ln * L(\lambda)}{\partial \lambda}$ - \item Funktion gleich $0$ setzen und nach $\lambda$ aufloesen. + \item Funktion gleich $0$ setzen und nach $\lambda$ aufl\"osen. \end{enumerate} \subsection{Konfidenzintervalle} -Standartwerte fuer Konfidenz: +Standartwerte f\"ur Konfidenz: \begin{align*} 90\%:z = 1.65\\ 95\%:z = 1.96\\ @@ -138,10 +139,10 @@ o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\}, \{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$ \section{Wahrscheinlichkeiten} -\subsection{Wuerfeln} +\subsection{W\"urfeln} \subsubsection{keine 6} \[ - p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe} + p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der W\"urfe} \] \subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)} \[ @@ -153,16 +154,16 @@ o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\}, \[ p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i \] -\subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln} -$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\ -dann wieder ueber Gegenereignis: \\ +\subsubsection{6er-Pasch bei 2 W\"urfeln} +$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl g\"unstiger Ereignisse = 1 , n\"ahmlich (6,6)}$\\ +dann wieder \"uber Gegenereignis: \\ \[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \] -\subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen} +\subsubsection{genau eine 6 bei n-W\"urfeln/W\"urfen} \[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\ -- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\ +- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtm\"oglichkeiten \\ - es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\ -- es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten -\subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen} +- es bleiben bei den verbleibenden n-1 W\"urfen 5 M\"oglichkeiten +\subsubsection{genau x-6er bei n-W\"urfeln/W\"urfen} \[ p= \frac{\begin{pmatrix} x\\n \end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\ @@ -170,7 +171,7 @@ dann wieder ueber Gegenereignis: \\ x\\n \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!} \]\\ -$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[ +$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl M\"oglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei W\"urfel):}$\[ p= \frac{\begin{pmatrix} x\\n \end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n} @@ -219,25 +220,26 @@ Ereignis $B$: Test identifiziert Person als krank.\\ \vspace*{10pt} -Loesung mittels \textbf{Formel von Bayes}: +L\"osung mittels \textbf{Formel von Bayes}: \begin{align} P(B_k/A) = \frac{P(A|B_k) * P(B_k)}{\sum_{j \in J} P(A|B_j) * P(B_j)} \end{align} -Dieser Vorgang wird auch \textbf{Rueckwaertsinduktion} genannt. Angenommen man +Dieser Vorgang wird auch \textbf{R\"uckw\"artsinduktion} genannt. Angenommen man kennt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis unter einer gewissen Bedingung (hier Test -schlaegt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund +schl\"agt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund $P(B|A_2)$), dann kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnen. Hier: Wie wahrscheinlich ist es, dass Person krank ist, unter Bedingung, dass Test das gemeldet hat $P(A_1|B)$. \subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen} \[ - P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}} + P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen + UND min. eine 6}}{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen}} \]\\ \[ p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!} \] -bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[ +bei 3 W\"urfeln also z.B.:\[ p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5 \] @@ -247,7 +249,7 @@ bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[ und logischerweise: \[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \] \subsection{Absoluten Momente diskreter Verteilungen} -Ist fuer $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$, +Ist f\"ur $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$, so heisst \begin{align} m_k = m_k(P) = \sum_{x \in X} x^kf(x) @@ -264,7 +266,7 @@ das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P. M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n) \] - f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\ -- 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ +- 'n' k\"onnte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ \subsection{Erzeugende Funktion} \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen} \textbf{Gegegeben:} Eine erzeugende Funktion $\hat{f}(z)$ gegeben. @@ -273,13 +275,13 @@ das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P. \end{align} \textbf{Gesucht:} Die Funktion $f(k)$ -Moeglichkeit 1: Taylorentwicklung +M\"oglichkeit 1: Taylorentwicklung \begin{align} \hat{f}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\hat{f}^{(k)}(0)z^k\\ \Rightarrow f(k) = \frac{1}{k!} \hat{f}^{k}(0) \end{align} -Moeglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zurueckfuehren (z.B. geometrische +M\"oglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zur\"uckf\"uhren (z.B. geometrische Reihe) \subsubsection{Mittelwert $m_1$} \begin{align} @@ -288,7 +290,7 @@ Reihe) \end{align} \subsubsection{Varianz $\hat{m}_2$} \begin{enumerate} - \item Zuerst \textbf{zweites Moment} berechnen: + \item Z\"urst \textbf{zweites Moment} berechnen: \begin{align} m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1)\\ \end{align} @@ -315,8 +317,8 @@ Reihe) \text{mit k = 0,1,2,...,n} \] - wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B. wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2" -\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis -\\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen +\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit f\"ur ein positives Ereigbnis +\\ - n ist Anz\"ahl wie oft wir ziehen \subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten} Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler @@ -324,7 +326,7 @@ sind? \[ 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k,p,n) \enspace mit \enspace \] \\ k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500 -(wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass +(wir ziehen Fehler "ohne zur\"ucklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\ \begin{equation*} \begin{split} @@ -337,7 +339,7 @@ ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\ \end{equation*} \subsection{Possion-Verteilung} \subsubsection{Allgemein} -Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen +Ereignisse m\"ussen mit konstanter Rate, unabh\"angig voneinander und in einem festen Bereich (Modell) stattfinden! \[ P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda} @@ -370,7 +372,7 @@ Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kuge $f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ \subsection{Geometrische Verteilung} Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines -Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\ +Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\ $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ \subsection{Uniform-Verteilung $\mathcal{U}(a,b)$} \textbf{Dichtefunktion}: @@ -391,7 +393,7 @@ $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ \section{Zufallsvarriablen} \subsection{Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen} - siehe Loesungssammlung Aufgabe 98 ff. + siehe L\"osungssammlung Aufgabe 98 ff. \subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen} Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf @@ -418,7 +420,7 @@ Marginaldichte: & = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} ) \end{split} \] -Gegebenenfalls koennen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist. +Gegebenenfalls konnen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist. Damit $f(x_1,x_2)$ und $f_2(x_2)$ Dichten sind muss gelten: \[ \int f_2(x_2) dx_2 = 1