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\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{nccmath}
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\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\title{Ko-Rekursion/-Induktion}
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\author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015}
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\date{ }
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Korekursion}
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\textbf{Gegeben:}
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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co&data Signal\:where \\
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& \enspace currentSample : Signal \rightarrow Int \\
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& \enspace discardSample : Signal \rightarrow Signal
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{sowie:}
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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¤tSample(flat\:x) = x &
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&discardSample(flat\:x) = flat\:x \\
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¤tSample(square\:x\:y) &
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&discardSample(square\:x\:y)
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{Es soll gelten:}\\
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sampler t s\enspace = s , wenn $t>0$ und 0 sonst\\
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sowie insbesondere:
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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&sampler:\:Signal\rightarrow Signal\rightarrow Signal \\
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&sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0) = flat\:0 \\
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&sampler(square\:1\:0)(flat\:x) = square\:x\:0 \\
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{Schritt 1:}\\
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$\rightarrow$ sampler Funktion in codata-Funktionen einsetzen
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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¤tSample(sampler\:t\:s)\\
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&discardSample(sampler\:t\:s)
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{Schritt 2:}\\
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$\rightarrow$ Bedingung von oben bei erster Funktion anwenden also:
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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currentSample(sampler\:t\:s) = \:&if\:(currentSample\:\:t>0)\\
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&then\:(currentSample\:\:s)\\
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&else\:(flat\:\:0)
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{sowie zweite Formel zum Aufteilen verwenden:}
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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discardSample(sampler\:t\:s) = sampler(discardSample\:\:t)(discardSample\:\:s)
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\newpage
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\section{Ko-Induktion:}
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\textbf{Induktionsanfang:}\\
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$\rightarrow$ anhand erster Formel 'R' aufstellen
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\[ R = \{ \underbrace{sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0)}_{linke\:Seite},\underbrace{flat\:0}_{rechte\:Seite} \:|\: \underbrace{x\in Int}_{von\:oben}\}\]
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$\rightarrow$ "R ist Bisimulation" hinschreiben, linke Seite aufloesen\\
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\[ sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0) = 0 \]
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$\rightarrow$ wenn hier am Endde kein Term rauskommt, dann koennen wir einfach die \textbf{rechte Seite bei der normalen Funktion} einsetzen und selbige aufloesen:
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\[ currentSample(flat\;0) = 0 \]
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$\rightarrow$ sehr gut, die rechten Seiten sind gleich wir sind hier also fertig\\ \\
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\textbf{zweite Bedingung:}
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\[discardSample(sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)) = sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)\]
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\textit{das ist doof denn:}
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\[discardSample(flat 0) = 0\]
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\textbf{Schritt 3:}\\
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\[R' = R \;\cup\;\{\underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{aufgeloeste\;2.\;Bedingung},flat\;0\:|\:x\in Int\}\]
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wir muessen jetzt zeigen:
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\[
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currentSample(\underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{hier\;=\;0}) = \underbrace{currentSample(flat\;0)}_{hier\;=\;0}
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\]
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passt also, jetzt wie oben auch zweite Funktion:
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\[
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discardSample(sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)) = \underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{wieder\;linke\;Seite\;in\;R'}\]\[
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discardSample(flat\;0) = \underbrace{flat\;0}_{wieder\;rechte\;Seite}
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\]
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und fertig!\\\\
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\begin{tiny}
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\copyright\ Joint-Troll-Expert-Group (JTEG) 2015
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\end{tiny}
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\newpage
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\end{document} |