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new file: Public/Koinduktio_reduktion.tex
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108
Public/Koinduktio_reduktion.tex
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108
Public/Koinduktio_reduktion.tex
Normal file
@ -0,0 +1,108 @@
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\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{nccmath}
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\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\title{Ko-Rekursion/-Induktion}
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\author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015}
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\date{ }
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Korekursion}
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\textbf{Gegeben:}
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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co&data Signal\:where \\
|
||||
& \enspace currentSample : Signal \rightarrow Int \\
|
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& \enspace discardSample : Signal \rightarrow Signal
|
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{sowie:}
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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||||
¤tSample(flat\:x) = x &
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&discardSample(flat\:x) = flat\:x \\
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||||
¤tSample(square\:x\:y) &
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||||
&discardSample(square\:x\:y)
|
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\end{align*}
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\end{fleqn}
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\textbf{Es soll gelten:}\\
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sampler t s\enspace = s , wenn $t>0$ und 0 sonst\\
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sowie insbesondere:
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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||||
&sampler:\:Signal\rightarrow Signal\rightarrow Signal \\
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&sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0) = flat\:0 \\
|
||||
&sampler(square\:1\:0)(flat\:x) = square\:x\:0 \\
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{fleqn}
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\textbf{Schritt 1:}\\
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$\rightarrow$ sampler Funktion in codata-Funktionen einsetzen
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\begin{fleqn}
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||||
\begin{align*}
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¤tSample(sampler\:t\:s)\\
|
||||
&discardSample(sampler\:t\:s)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{fleqn}
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||||
\textbf{Schritt 2:}\\
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||||
$\rightarrow$ Bedingung von oben bei erster Funktion anwenden also:
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\begin{fleqn}
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||||
\begin{align*}
|
||||
currentSample(sampler\:t\:s) = \:&if\:(currentSample\:\:t>0)\\
|
||||
&then\:(currentSample\:\:s)\\
|
||||
&else\:(flat\:\:0)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{fleqn}
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||||
\textbf{sowie zweite Formel zum Aufteilen verwenden:}
|
||||
\begin{fleqn}
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||||
\begin{align*}
|
||||
discardSample(sampler\:t\:s) = sampler(discardSample\:\:t)(discardSample\:\:s)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{fleqn}
|
||||
\newpage
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||||
\section{Ko-Induktion:}
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||||
\textbf{Induktionsanfang:}\\
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$\rightarrow$ anhand erster Formel 'R' aufstellen
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\[ R = \{ \underbrace{sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0)}_{linke\:Seite},\underbrace{flat\:0}_{rechte\:Seite} \:|\: \underbrace{x\in Int}_{von\:oben}\}\]
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||||
$\rightarrow$ "R ist Bisimulation" hinschreiben, linke Seite aufloesen\\
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||||
\[ sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0) = 0 \]
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||||
$\rightarrow$ wenn hier am Endde kein Term rauskommt, dann koennen wir einfach die \textbf{rechte Seite bei der normalen Funktion} einsetzen und selbige aufloesen:
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\[ currentSample(flat\;0) = 0 \]
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||||
$\rightarrow$ sehr gut, die rechten Seiten sind gleich wir sind hier also fertig\\ \\
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||||
\textbf{zweite Bedingung:}
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\[discardSample(sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)) = sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)\]
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||||
\textit{das ist doof denn:}
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||||
\[discardSample(flat 0) = 0\]
|
||||
\textbf{Schritt 3:}\\
|
||||
\[R' = R \;\cup\;\{\underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{aufgeloeste\;2.\;Bedingung},flat\;0\:|\:x\in Int\}\]
|
||||
wir muessen jetzt zeigen:
|
||||
\[
|
||||
currentSample(\underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{hier\;=\;0}) = \underbrace{currentSample(flat\;0)}_{hier\;=\;0}
|
||||
\]
|
||||
passt also, jetzt wie oben auch zweite Funktion:
|
||||
\[
|
||||
discardSample(sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)) = \underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{wieder\;linke\;Seite\;in\;R'}\]\[
|
||||
discardSample(flat\;0) = \underbrace{flat\;0}_{wieder\;rechte\;Seite}
|
||||
\]
|
||||
und fertig!\\\\
|
||||
\begin{tiny}
|
||||
\copyright\ Joint-Troll-Expert-Group (JTEG) 2015
|
||||
\end{tiny}
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||||
\newpage
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||||
\end{document}
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||||
286
Public/MaC4Cheatsheet.tex
Normal file
286
Public/MaC4Cheatsheet.tex
Normal file
@ -0,0 +1,286 @@
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||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
|
||||
\title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet}
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||||
\author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015}
|
||||
\date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\section{Statistik}
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||||
\subsection{empirisches arithmetisches Mittel}
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\[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]
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||||
\subsection{empirischer Median (Zentralwert)}
|
||||
\[
|
||||
x_{median}=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\frac{x_{n+1}}{2} & \text{n ungerade} \\
|
||||
\frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht.
|
||||
\subsection{empirische Varianz}
|
||||
\[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\]
|
||||
\subsection{Gleichgewichtsverteilung}
|
||||
\[
|
||||
G_{var} =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
. \\
|
||||
. \\
|
||||
1
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
*\left [
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&.&.& 0 \\
|
||||
. & 1 &.& . \\
|
||||
. & . &1& . \\
|
||||
0&.&.&1
|
||||
|
||||
\end{pmatrix}-P+
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1&.&.&1 \\
|
||||
.&.&.&. \\
|
||||
.&.&.&. \\
|
||||
1&.&.&1
|
||||
\end{pmatrix}\right ]
|
||||
^{-1}
|
||||
\]
|
||||
Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert.
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||||
\section{Mengen}
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\subsection{o-Algebra}
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||||
- leere Menge enthalten\\
|
||||
- alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\
|
||||
- alle Komplemente enthalten\\ \\
|
||||
\textbf{Beispiel:}\\
|
||||
Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\
|
||||
NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\
|
||||
o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},
|
||||
\underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}},
|
||||
\underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}},
|
||||
\underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}},
|
||||
\{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$
|
||||
|
||||
\section{Wahrscheinlichkeiten}
|
||||
\subsection{Wuerfeln}
|
||||
\subsubsection{keine 6}
|
||||
\[
|
||||
p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe}
|
||||
\]
|
||||
\subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)}
|
||||
\[
|
||||
p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0
|
||||
\]
|
||||
\[
|
||||
p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i
|
||||
\]
|
||||
\subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln}
|
||||
$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\
|
||||
dann wieder ueber Gegenereignis: \\
|
||||
\[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \]
|
||||
\subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen}
|
||||
\[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\
|
||||
- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\
|
||||
- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\
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||||
- es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten
|
||||
\subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen}
|
||||
\[ p= \frac{\begin{pmatrix}
|
||||
x\\n
|
||||
\end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\
|
||||
\[\begin{pmatrix}
|
||||
x\\n
|
||||
\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}
|
||||
\]\\
|
||||
$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[
|
||||
p= \frac{\begin{pmatrix}
|
||||
x\\n
|
||||
\end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n}
|
||||
\]
|
||||
\subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten}
|
||||
z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit
|
||||
$(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum
|
||||
(Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\
|
||||
also:\\
|
||||
\begin{equation}
|
||||
6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{1}{4}w_1 = w_2
|
||||
\end{equation}\\
|
||||
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode.
|
||||
|
||||
\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
|
||||
\subsection{Beispiele}
|
||||
\subsubsection{Krankheitstest}
|
||||
0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\
|
||||
\textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\
|
||||
\[
|
||||
P(K | K_{ident} ) = \frac{P(K_{ident}|K)*P(K)}
|
||||
{P(K_{ident}|K)*P(K)+P(K_{ident}|K)*P(\neg K)} =
|
||||
\frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\%
|
||||
\]
|
||||
\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen}
|
||||
\[
|
||||
P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}}
|
||||
\]\\
|
||||
\[
|
||||
p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!}
|
||||
\]
|
||||
bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[
|
||||
p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
|
||||
\subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
|
||||
\[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\]
|
||||
und logischerweise:
|
||||
\[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \]
|
||||
\subsection{Momenterzeugende Funktion}
|
||||
\[
|
||||
M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n)
|
||||
\]
|
||||
- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\
|
||||
- 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$
|
||||
\subsection{Erzeugende Funktion}
|
||||
\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen}
|
||||
\subsubsection{Mitterlwert}
|
||||
\subsubsection{Varianz}
|
||||
TODO
|
||||
\subsection{Mittelwert, Varrianz}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Mittelwert: $m_1 = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$
|
||||
\item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\section{Verteilungen}
|
||||
\subsection{Allgemein}
|
||||
\subsubsection{Eigenschaften}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item stetig
|
||||
\item monoton steigend
|
||||
\item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$
|
||||
\item Dichte $g(t) = G'(t)$
|
||||
\item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\subsection{Binominalverteilung}
|
||||
\subsubsection{Allgemein}
|
||||
\[
|
||||
\mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) =
|
||||
\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline
|
||||
\text{mit k = 0,1,2,...,n} \]
|
||||
- wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B.
|
||||
wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2"
|
||||
\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis
|
||||
\\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen
|
||||
|
||||
\subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten}
|
||||
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler
|
||||
sind?
|
||||
\[
|
||||
1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|p,n) \enspace mit \enspace \] \\
|
||||
k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500
|
||||
(wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass
|
||||
ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\begin{split}
|
||||
1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500)& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2|
|
||||
1/500,500) \\
|
||||
& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2|
|
||||
1/500,500) \\
|
||||
& = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08
|
||||
\end{split}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\subsection{Possion-Verteilung}
|
||||
\subsubsection{Allgemein}
|
||||
Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen
|
||||
Bereich (Modell) stattfinden!
|
||||
\[
|
||||
P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda}
|
||||
\]
|
||||
\subsection{N(0,1)-Verteilung}
|
||||
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$
|
||||
\subsection{Normal-Verteilung}
|
||||
$f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-
|
||||
\mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$
|
||||
\subsection{Exponentiallverteilung}
|
||||
$f(\lambda) = \lambda*e^{-\lambda t}$
|
||||
|
||||
\subsection{Laplace-Verteilung}
|
||||
Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\
|
||||
$f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$
|
||||
\subsection{Hypergeometrische Verteilung}
|
||||
Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\
|
||||
$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
|
||||
\subsection{Geometrische Verteilung}
|
||||
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines
|
||||
Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\
|
||||
$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
|
||||
\section{Zufallsvarriablen}
|
||||
\subsection{Verteilungen von Zufallsvariablen}
|
||||
Wir benoetigen mehrdimensionale integration, d.h. wir \textbf{muessen} wissen von
|
||||
wo bis wo wir integrieren wollen \\ \\
|
||||
\subsubsection{Beispiel, Ereignis gegeben + Verteilungsfunktion gegeben:}
|
||||
$Ereignis: \: X_2 > 2X_1 \: => \: \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}}_{X_1}
|
||||
\underbrace{\int_{2X_1}^{+\infty}}_{X_2}$\\ \\ \\
|
||||
$Verteilung: \: expotentiell \: => \: f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda t}$ \\
|
||||
$Ausserdem \: sei: \: \lambda_1 = 1 \:\, und \:\, \lambda_2 =2 $\\ \\
|
||||
Wir integrieren zunaechst ueber $X_2$ d.h. wir sezten $\lambda = 2$
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{2X_1}^{+\infty} 2 e^{-2 X_2} \: dX_2 dX_1
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
Fuer $X_1$ setzen wir dann dementsprechend $\lambda e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = 1$ ein, dann nur noch das 2te Integral ausrechnen.
|
||||
% \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation)
|
||||
\subsubsection{Alternatives Beispiel:}
|
||||
X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt
|
||||
Zufallsvarriable $Z = min(X,Y)$, definiert durch $Z( \omega ) = min \{X(\omega),Y(\omega)\}$.\\ \[
|
||||
|
||||
\]
|
||||
\section{Marginaldichte - Beispielrechnung}
|
||||
\[
|
||||
f(x_z,x_2)=
|
||||
\begin{cases}
|
||||
ce^{-(2x_1+3x_2)} & x_1 > 0 \: und \: 0 < x_2 <x_1 \\
|
||||
0 & sonst
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Marginaldichte:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
f_1(x_1) & = \int_{0}^{x_1} f(x_1,x_2) dx_2 \\
|
||||
& = \int_{0}^{x_1} ce^{-2x_1}e^{-3x_2} \: dx_2 \\
|
||||
& = \underbrace{c*e^{-2x_1}}_{\text{Konstante, da Integration nach} \: x_2} \overbrace{\int_{0}^{x_1} e^{-3x_2} \: dx_2}^{mit \: 0 \: und \: x_1 \: einsetzen \: integrieren} \\
|
||||
& = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} )
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
Gegebenenfalls koennen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist.
|
||||
Damit $f(x_1,x_2)$ und $f_2(x_2)$ Dichten sind muss gelten:
|
||||
\[
|
||||
\int f_2(x_2) dx_2 = 1
|
||||
\]
|
||||
und:
|
||||
\[
|
||||
\int \int f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = 1
|
||||
\]
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\section{Koordinatentransformation}
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\end{document}
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