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\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{nccmath}
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\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
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\newcommand{\xhspace}[0]{\noindent\hspace*{5mm}}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\title{Konfluenz}
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\date{ }
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\begin{document}
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\section*{Wichtige Lemmas}
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\subsection*{Newman's Lemma:}
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Ein stark normalisierendes und lokal Konfluentes Termersetzungssystem (TES) ist konfluent.
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\subsection*{Critical Pair Lemma:}
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Ein TES ist lokal konfluent, wenn alle kritischen Paare zusammenf\"uhrbar sind.
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\section*{Allgemeines Vorgehen:}
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Alle Regeln m\"ussen gegen alle anderen gematched werden um lokale Konfluenz zu
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zeigen, f\"ur das Gegenteil reicht also logischerweise \textbf{ein} nicht-
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zusammenf\"urbares Paar.\\\\
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\textbf{F\"ur Regelpaar (x)(y):}\\
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$\rightarrow$ $l_1$ = linke Seite von x\\
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$\rightarrow$ $l_2$ = linke Seite von y (falls gleiche Variablennamen selbige umbennen)\\
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$\rightarrow$ $l_1$ so substituieren, dass Regel y angewendet werden kann (aka MGU finden)\\
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$\rightarrow$ $l_1$ sollte der MGU = $l_2$ sein $\rightarrow$ triviales Paar\\
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$\rightarrow$ beide Regeln 1x anwenden und sehen ob man die entstehenden Terme wieder zusammen bringen kann
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\textit{(durch Anwendung beliebiger Regeln des TES)}\\\\
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Triviale Paare muessen nicht gezeigt werden. Ein Paar kann bereits nach Anwendung beider Regeln wieder gleich sein
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(z.B. $\neg\neg\neg x$ ). So ein Paar ist automatisch zusammenf\"uhrbar, aber dennoch der Definition nach
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\textbf{\underline{kein}} triviales Paar.
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\section*{Beispiel Lokale Konfluenz zeigen:}
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Formeln:
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\begin{align}
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x \Uparrow ( y \Uparrow z) & \rightarrow_{0}
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\; x \Uparrow (y \Downarrow y)
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\\
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x \Downarrow ( x \Downarrow y ) & \rightarrow_0
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\; x \Downarrow y
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\end{align}
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\textbf{(1)(1)}
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\begin{align*}
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l_1 &= x \Uparrow ( y \Uparrow z) \\
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l_2 &= u \Uparrow ( v \Uparrow w) \\
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\end{align*}
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\textbf{damit:}
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\[
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mgu = [\;y \mapsto u\,,\;z \mapsto (\,u\;\Uparrow\;w\,)\;]
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\]
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\textbf{und die mit dem MGU substituierte Seite $l_1$:}\\
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\begin{align*}
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l_1\sigma = x \Uparrow (\,u\;&\Uparrow\,(\,v\Uparrow\;w\,))\\ \\
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l_1\sigma (1) = x\;\Uparrow \, ( \, u \; \Downarrow \; u\,)
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\hspace{1cm}&\hspace{8mm}
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\underbrace{l_1\sigma (1) = x\;\Uparrow \, ( \, u \; \Uparrow \,\underbrace{(v\;\;\Downarrow\;v\,)}_{z'}}_{Regel\;(1)} \\\\
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l_1\sigma (1) = x\;\Uparrow \, ( \, u \; \Downarrow \; u\,)
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\hspace{1cm}&==\hspace{10mm}
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l_1\sigma (1) = x\;\Uparrow \, ( \, u \; \Downarrow \; u\,) \\
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\end{align*}
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\textbf{Analog mit (2)(2) und allen anderen kritischen Paaren (wobei (1)(2) und (2)(1) hier triviale kritische Paare w\"aren!)}
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\begin{tiny}
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\copyright\ Joint-Troll-Expert-Group (JTEG) 2015
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\end{tiny}
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\end{document}
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