removing unessesary files

README.md

@@ -4,8 +4,7 @@
 
 ## Repository kopieren
 
-    $ git clone https://github.com/FAUSheppy/Uni_Latex
-    $ cd Uni_Latex
+    $ git clone <link_to_repository>
 
 ## Repository updaten
 
@@ -29,9 +28,9 @@ Das Makefile in ThProg läuft außerdem ultra-quite in nicht-continous modes. Be
 
 # Ich habe einen Fehler gefunden!
 * macht eine Issue auf
-* schreibt mir im IRC (Sheppy)
-* macht einen Pullrequest (bestes)
+* macht einen pullrequest (bestes)
+* wenn du write hast fixe es selbst (noch besser)
 
 #Sonstiges
-Schreibzugriff auf dieses Repro haben außerdem nudelsalat und greeny.
-
+* die FSI_Gruppe hat write auf diesem Repro
+* greeny & nudel haben master

Scripts/buildAstroPDF

@@ -1,28 +0,0 @@
-#!/bin/bash
-echo "Stept 1/4 Downloading"
-for i in {1..9};
-	do 
-		wget -nv "http://hydrus.sternwarte.uni-erlangen.de/~wilms/teach/intro1516/page000${i}.svg" 
-	done
-for i in {10..99};
-	do 
-		wget -nv "http://hydrus.sternwarte.uni-erlangen.de/~wilms/teach/intro1516/page00${i}.svg"
-	done
-for i in {100..219};
-	do
-		wget -nv "http://hydrus.sternwarte.uni-erlangen.de/~wilms/teach/intro1516/page0${i}.svg"
-	done
-
-echo "Step 2/4 : Converting.."
-for file in $PWD/*.svg;
-	do 
-		inkscape "$file" -d 1200 -A "${file%.svg}.pdf" 
-	done
-
-echo "Step 3/4 : Merging PDFs.."
-pdfunite *.pdf AstroFull.pdf
-echo "Step 4/4 : Compressing..."
-gs -sDEVICE=pdfwrite -dCompatibilityLevel=1.4 -dPDFSETTINGS=/screen -dNOPAUSE -dBATCH  -dQUIET -sOutputFile=output.pdf input.pdf
-rm page*.pdf
-rm AstroFull.pdf
-echo "Done!"

Spring/README.md

@@ -2,4 +2,4 @@
 * commands are only given to highest selected group, that being [mobile (attack-)units>Commander/Builder>Buildings]
 * holding 'ALT' pressed during command will suppress this behaviour
 * you need to created a new "Widgets" folder if one does not already exist in your "~/spring/LuaUI" and put the lua file there
-* if a unit doesn't behave as it's supposed to, it is most likely because i forgot it in my list of unitnames, just open an issue or message me otherwise
+* if a unit doesn't behave as it's supposed to, it is most likely because i forgot it in my list of unitnames feel free to report it or fix it yourself

Vorlesungen/MatheC4/MaC4Cheatsheet.tex

@@ -1,621 +0,0 @@
-\documentclass{article}
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amssymb}
-% -------- Umlaute korrekt ----------------
-\usepackage{ngerman}
-\usepackage[latin1, utf8]{inputenc}
-\usepackage[ngerman, english]{babel}
-%-------------------------------------------
-
-% TikZ Library
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{arrows,backgrounds,positioning,fit,calc,petri}
-\usetikzlibrary{shapes, shapes.misc}
-\usetikzlibrary{decorations.markings,decorations.pathmorphing}
-
-% Verlinkung von Url und Kapiteln
-\usepackage{hyperref}
-% Einrueckung unterbinden nach Absatz
-\setlength{\parindent}{0pt}
-
-\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
-\title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet}
-\author{greeny, nudelsalat, Sheppy\\September 2015}
-\date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!}
-\begin{document}
-\maketitle
-\tableofcontents
-\newpage
-\section{Statistik}
-\subsection{empirisches arithmetisches Mittel}
-\[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]
-\subsection{empirischer Median (Zentralwert)}
-\[
-	x_{median}=
-	\begin{cases}
-		\frac{x_{n+1}}{2}								& \text{n ungerade} \\
-		\frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2}	& \text{n gerade}
-	\end{cases}
-\]
-Wobei der Index f\"ur die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht.
-\subsection{empirische korrigierte Varianz}
-\[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{arith})\]
-\subsection{Regressionsgerade}
-\textbf{Gauss'sche Normalengleichung}
-Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung gel\"ost.
-\begin{align}
-	\begin{pmatrix}
-		\sum x_i^2 & \sum x_i \\
-		\sum x_i   & n
-	\end{pmatrix}
-	\begin{pmatrix}
-		a \\
-		b
-	\end{pmatrix}
-	=
-	\begin{pmatrix}
-		\sum x_i*y_i \\
-		\sum y_i
-	\end{pmatrix} \text{, mit $i \in n$}
-\end{align}
-$\rightarrow$ Auflösen nach Parametern $a,b$.\\
-\textbf{Regressionsgerade}:
-\begin{align}
-	y(x) = a*x + b
-\end{align}
-
-\subsection{Maximum-Likelyhood Methode}
-\textbf{Problembeschreibung}: Man m\"ochte f\"ur einen unbekannten Parameter $\lambda$
-einer Verteilung, die mindestens einen Parameter besitzt, einen Sch\"atzwert bestimmen
-mithilfe einer konkreten Stichprobe $(x_1, \ldots, x_n)$.
-
-\begin{enumerate}
-	\item Likelihood-Funktion $L(\lambda)$ bilden f\"ur gegebene Verteilung
-		\begin{align}
-			L(\lambda) = L(x_1, \ldots, x_n; \lambda) = = \prod_{i=1}^n
-			\underbrace{f}_{\text{Dichtefunktion}}(x_i, \lambda)\\
-		\end{align}
-		Im Falle von Exponentialverteilung:\\
-		\begin{align}
-			\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n * e^{-\lambda * \sum_{i=1}^{n}x_i}
-		\end{align}
-	\item Funktion $L(\lambda)$ mit $\ln$ multiplizieren\\
-		Rechenregeln f\"ur $\ln$:
-		\begin{itemize}
-			\item $\ln a^b = b * \ln a$
-			\item $\ln (a*b) = \ln a + \ln b$
-		\end{itemize}
-	\item Ableiten nach $\lambda$: $\frac{\partial \ln * L(\lambda)}{\partial \lambda}$
-	\item Funktion gleich $0$ setzen und nach $\lambda$ aufl\"osen.
-\end{enumerate}
-
-\subsection{Konfidenzintervalle}
-Standartwerte f\"ur Konfidenz:
-\begin{align*}
-	90\%:z = 1.65\\
-	95\%:z = 1.96\\
-	99\%:z = 2.58
-\end{align*}
-
-\begin{align}
-	P(|\bar{x}-\mu| \geq c) = \alpha \\
-	\mu \in [\bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]
-\end{align}
-
-\subsection{Kovarianz}
-Sind zwei Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ stochastisch unabh\"angig dann
-gilt:
-
-\begin{align}
-	cov(X_1,X_2) = 0
-\end{align}
-
-Ansonsten:
-\begin{align}
-	cov(X_1,X_2) = E(X_1X_2) - E(X_1)E(X_2)
-\end{align}
-\textbf{Erwartungswert}:
-\begin{align}
-	EX = \sum_{k \in \Omega} k * P(X = k) = \int_{-\infty}^{\infty} x * f(x) dx
-\end{align}
-\textbf{Beispiel}:
-Berechnen der Kovarianz der Zufallsvariablen $Z_1 = X_1 - X_2$ und $Z_2 = X_1$,
-wenn der Zufallsvektor $(X_1,X_2)$ auf der Menge
-\begin{align}
-	M = \{(x_1,x_2)| 0 \leq x_2 \leq 2 \text{ und } 0 \leq x_1 \leq x_2\}
-\end{align}
-\textbf{Gesucht}: $cov(Z_1, Z_2)$
-\begin{enumerate}
-	\item Kovavarianz umformen
-		\begin{align}
-			cov(Z_1, Z_2) = cov(X_1-X_2, X_1) = (E(X^2_1)-E(X_1)^2)-(E(X_2X_1)-E(X_2)E(X_1))
-		\end{align}
-	\item Die \textbf{Fl\"ache} $A_M$ unter Funktion berechnen: $A_M = 2$.\\
-	\item Die \textbf{Dichtefunktion} ist der Kehrwert von $A_M$ und damit $\frac{1}{2}$.
-		\begin{align}
-			f(x_1,x_2) =
-			\begin{cases}
-				\frac{1}{2} & x_1,x_2 \in M \\
-				0 & sonst
-			\end{cases}
-		\end{align}
-	\item Jetzt wieder mittels \textbf{Marginalsdichte} $f(x_1)$ und $f(x_2)$ bestimmen.
-		\begin{align}
-			f_1(x_1) = \int_{x_1}^2 f(x_1,x_2) dx_2\\
-			f_2(x_2) = \int_{0}^{x_2} f(x_1,x_2) dx_1
-		\end{align}
-	\item Berechnung der ben\"otigten Erwartungswerte $E$:
-		\begin{align}
-			E(X_i) = \int_{0}^{2} x_i * f_i(x_i) dx\\
-			E(X_i^2) = \int_{0}^{2} x_i^2 * f_i(x_i) dx\\
-			E(X_1X_2) = \underbrace{\int_0^{2}\int_{0}^{x_2}}_{\text{Integration \"uber $x_1$ und
-			$x_2$}} x_1*x_2*f(x_1,x_2) dx_1 dx_2
-		\end{align}
-	\item Einsetzen in umgeformte Kovarianzformel (siehe 1)
-\end{enumerate}
-\subsection{Markov-Ketten}
-\begin{itemize}
-	\item Bei Übergangsmatrix $P \in (\mathbb{R}_{\geq 0})^{r x r}$ sind alle Zeilensummen gleich $1$.
-	\item Vektor $\vec{u} \in (\mathbb{R}_{\geq 0})^{r}$ mit $||\vec{u}||_1 = 1$
-		der
-		\begin{align}
-			\vec{u} = P^T \cdot \vec{u}
-		\end{align}
-		erfüllt, heißt \textbf{Gleichgewichtszustand/-verteilung}.
-	\item \textbf{Berechnung} von $\vec{u}$: $\text{Kern}(P^T - \text{ Id}_r)$.\\$\rightarrow$
-		Kern wird berechnet durch klassischen Gauß- Algorithmus. Wenn keine
-		eindeutige Lsg (z.B. $0 = 0$), dann Variable beliebig wählen. Es gibt
-		immer einen Kern, da Determinante $0$ garantiert ist durch obige\\
-		Summenbedingung.
-	\item Vektoreinträge müssen positiv sein, sonst Fehler.
-	\item Vektor $\vec{u}$ durch $||\vec{u}||_1$ (Summennorm) teilen.
-		\begin{align}
-			||\vec{u}||_1 := \sum^n_{i=1}|x_i|
-		\end{align}
-\end{itemize}
-\section{Mengen}
-\subsection{o-Algebra}
-- leere Menge enthalten\\
-- alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\
-- alle Komplemente enthalten\\ \\
-\textbf{Beispiel:}\\
-Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\
-NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\
-o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},
-	\underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}},
-	\underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}},
-	\underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}},
-\{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$
-
-\section{Wahrscheinlichkeiten}
-\subsection{W\"urfeln}
-\subsubsection{keine 6}
-\[
-	p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der W\"urfe}
-\]
-\subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)}
-\[	
-	p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0
-\]	
-\[		
-	p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0
-\]
-\[
-	p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i
-\]
-\subsubsection{6er-Pasch bei 2 W\"urfeln}
-$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl g\"unstiger Ereignisse = 1 , n\"ahmlich (6,6)}$\\
-dann wieder \"uber Gegenereignis: \\
-\[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \]
-\subsubsection{genau eine 6 bei n-W\"urfeln/W\"urfen}
-\[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\
-- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtm\"oglichkeiten \\
-- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\
-- es bleiben bei den verbleibenden n-1 W\"urfen 5 M\"oglichkeiten
-\subsubsection{genau x-6er bei n-W\"urfeln/W\"urfen}
-\[ p= \frac{\begin{pmatrix}
-			n\\k
-\end{pmatrix}5^{(n-k)}}{6^n}\]\\
-\[\begin{pmatrix}
-		n\\k
-	\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}
-\]\\
-$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl M\"oglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei W\"urfel):}$\[
-	p= \frac{\begin{pmatrix}
-			n\\k
-	\end{pmatrix}(z-1)^{(n-k)}}{z^n}
-\]
-\subsubsection{X-Mal Werfen, min eine 3 unter der Bedingung min. eine 6}
-A = min. eine 3 \\
-B = min. eine 6 \\\\
-\textbf{gesucht:} \[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
-\[P(B) = 1-P(keine\;6) = 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}\]
-\textbf{Idee:}
-\begin{align*}
-	P(A\cap B) 	&= 1-P(\neg (A\cap B))\\
-							   &= 1-P(\neg A \cup \neg B)\\
-							&= 1-P(\neg A) - P(\neg B) + P(\neg A \cap \neg B)\\
-						 &= 1-P(keine\;3)-P(keine\;6)+P(weder\;3\;noch\;6)\\
-						 &= 1-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{4}{6}\right)^4 = 1- \frac{994}{1296}
-\end{align*}
-...und das dann nur noch oben einsetzen und fertig.
-\[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
-also:
-\[P(A|B) = \frac{\frac{994}{1296}}{\frac{625}{1296}}\]
-
-\subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten}
-z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit
-$(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum
-(Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\
-also:\\
-\begin{equation}	
-6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation}
-\begin{equation}	
-	\frac{1}{4}w_1 = w_2 
-\end{equation}\\
-Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode.
-
-\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
-\subsection{Beispiele}
-\subsubsection{Krankheitstest}
-0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\
-Ereignis $A_1$: Person ist krank\\
-Ereignis $A_2$: Person ist gesund\\
-Ereignis $B$: Test identifiziert Person als krank.\\
-
-\textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\
-\[
-	P(A_1 | B ) = \frac{P(B|A_1)*P(A_1)}
-	{P(B|A_1)*P(A_1)+P(B| A_2)*P(A_2)} =
-	\frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\%
-\]
-
-\vspace*{10pt}
-
-L\"osung mittels \textbf{Formel von Bayes}:
-\begin{align}
-	P(B_k/A) = \frac{P(A|B_k) * P(B_k)}{\sum_{j \in J} P(A|B_j) * P(B_j)}
-\end{align}
-Dieser Vorgang wird auch \textbf{R\"uckw\"artsinduktion} genannt. Angenommen man
-kennt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis unter einer gewissen Bedingung (hier Test
-schl\"agt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund
-$P(B|A_2)$), dann kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit
-mit dieser Formel berechnen. Hier: Wie wahrscheinlich ist es, dass Person krank ist, unter
-Bedingung, dass Test das gemeldet hat $P(A_1|B)$.
-
-\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen}
-\[
-	P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen
-	UND min. eine 6}}{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen}}
-\]\\
-\[
-	p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!} 
-\]
-bei 3 W\"urfeln also z.B.:\[
-	p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5
-\]
-
-\section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
-\subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
-\[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\]
-und logischerweise:
-\[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \]
-\subsection{Absoluten Momente diskreter Verteilungen}
-Ist f\"ur $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$,
-so heisst
-\begin{align}
-	m_k = m_k(P) = \sum_{x \in X} x^kf(x)
-\end{align}
-das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P.
-
-\subsubsection{Mittelwert, Varianz}
-\begin{itemize}
-	\item Mittelwert: $m_1 = m_1(P) = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$
-	\item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$
-\end{itemize}
-\subsubsection{Momenterzeugende Funktion}
-\[
-	M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n)
-\]
-- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\
-- 'n' k\"onnte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$
-
-\vspace*{15pt}
-\textbf{Berechnungsvorschrift} f\"ur das k-te Moment:
-\begin{enumerate}
-	\item Berechne k-te Ableitung $M^k$ von $M(t)$
-	\item $m_i = M^{(k)}(0)$
-\end{enumerate}
-\subsection{Erzeugende Funktion}
-\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen}
-\textbf{Gegegeben:} Eine erzeugende Funktion $\hat{f}(z)$ gegeben.
-\begin{align}
-	\hat{f}(z) = \sum^{\infty}_{k=0} f(k)z^k
-\end{align}
-\textbf{Gesucht:} Die Funktion $f(k)$
-
-M\"oglichkeit 1: Taylorentwicklung
-\begin{align}
-	\hat{f}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\hat{f}^{(k)}(0)z^k\\
-	\Rightarrow f(k) = \frac{1}{k!} \hat{f}^{k}(0)
-\end{align}
-
-M\"oglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zur\"uckf\"uhren (z.B. geometrische
-Reihe)
-\subsubsection{Mittelwert $m_1$}
-\begin{align}
-	M(t) = \hat{f}(e^t)\\
-	m_1  = M'(t)|_{t=0} = \hat{f}'(e^t)e^t|_{t=0} = \hat{f}'(1)
-\end{align}
-\subsubsection{Varianz $\hat{m}_2$}
-\begin{enumerate}
-	\item Zuerst \textbf{zweites Moment} berechnen:
-		\begin{align}
-			m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1) \rightarrow \text{, falls \textbf{Erzeugende-Funktion}
-			(hier)}\\
-			m_2 = \hat{f}''(0) \rightarrow \text{, falls \textbf{Momenterzeugende-Funktion}}
-		\end{align}
-	\item Dann \textbf{Varianz}:
-		\begin{align}
-			\hat{m}_2 = m_2 - m_1^2
-		\end{align}
-		Siehe unten f\"ur $m_2$ Berechnungsvorschrift!
-\end{enumerate}
-\section{Verteilungen und Verteilungsfunktionen}
-\subsection{Allgemein}
-\subsubsection{Eigenschaften Verteilungsfunktionen}
-\begin{itemize}		
-	\item stetig
-	\item monoton steigend
-	\item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$
-	\item Dichte $g(t) = G'(t)$
-	\item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$
-\end{itemize}
-\subsection{Binominalverteilung}
-\subsubsection{Allgemein}
-\[
-	\mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) =
-\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline
-\text{mit k = 0,1,2,...,n} \]
-- wobei diese Funktion die \textbf{kumulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B.
-wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2"
-\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit f\"ur ein positives Ereignisse
-\\ - n ist Anzahl wie oft wir ziehen
-
-\subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten}
-Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler
-sind?
-\[
-1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k,p,n) \enspace mit \enspace \] \\
-k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500
-(wir ziehen Fehler "ohne zur\"ucklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass
-ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\
-\begin{equation*}
-	\begin{split}
-		1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500)
-		& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2|1/500,500) \\
-		& = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08
-	\end{split}
-\end{equation*}
-\subsection{Poisson-Verteilung}
-\subsubsection{Allgemein}
-Ereignisse m\"ussen mit konstanter Rate, unabh\"angig voneinander und in einem festen 
-Bereich (Modell) stattfinden!
-\[
-	P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda}
-\]
-\subsection{Normal-Verteilung $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$}
-$f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-		
-\mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$
-\subsubsection{$\mathcal{N}(0,1)$-Verteilung}
-$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$
-\subsection{Exponentiallverteilung}
-\textbf{Dichtefunktion}:
-\begin{align} f_\lambda(x) =
-	\begin{cases}
-		\lambda*e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
-		0                                     & x <    0
-	\end{cases}
-\end{align}
-\textbf{Verteilungsfunktion}:
-\begin{align} F(x) = \int_0^x f_\lambda(t) dt =
-	\begin{cases}
-		1 - e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
-		0                                     & x <    0
-	\end{cases}
-\end{align}
-\subsection{Laplace-Verteilung}
-Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\
-$f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$
-\subsection{Hypergeometrische Verteilung}
-Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter 	n gezogenen interpretieren kann. \\
-$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
-\subsection{Geometrische Verteilung}
-Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten
-eines Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\
-$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
-\subsection{Uniform-Verteilung $\mathcal{U}(a,b)$}
-\textbf{Dichtefunktion}:
-\begin{align} f(x) =
-	\begin{cases}
-		\frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\
-		0               &  sonst
-	\end{cases}
-\end{align}
-\textbf{Verteilungsfunktion}:
-\begin{align} F(x) =
-	\begin{cases}
-		0     & x \leq a\\
-		\frac{x - a}{b - a} & a < x < b \\
-		1     & x \geq b\\
-	\end{cases}
-\end{align}
-
-\section{Zufallsvariablen}
-\subsection{Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen}
-\textbf{Problembeschreibung}: Berechnung von Wahrscheinlichkeit des
-Ereignisses $(X_1 > a * X_2)$ o.\"a.
-Zufallsvariablen $X_1, X_2$  sind dabei stochastisch
-unabh\"angig. Die Verteilungen von $X_i$ haben dabei die Dichten
-$f_i$.\\
-Somit gilt nach der Marginalsdichte: $f(x_1,x_2) = f_1(x_1)*f_2(x_2)$.
-
-\begin{align}
-	P(X_1 > a * X_2) = \int \int_{x_1>a*x_2} f_1(x_1)*f_2(x_2) dx_1dx_2 := I
-\end{align}
-In Abh\"angigkeit von Reihenfolge, in der die Integration \"uber die Variablen
-$x_1$ und $x_2$ durchgef\"uhrt werden, ergeben sich zwei Darstellungen:
-
-\begin{align}
-	I = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x_1)F_2(\frac{1}{a}x_1)dx_1\\
-	I = \int_{-\infty}^{\infty} f_2(x_2)(1 - F_1(ax_2))dx_2
-\end{align}
-Siehe auch L\"osungssammlung Aufgabe $98$ ff.
-
-\subsubsection{Beispiel}
-Die Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ seien uniform verteilt auf
-$[0, 2]$. Berechnen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $(X_1X_2 \leq \frac{1}{2})$.
-
-\begin{align}
-	M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x_1,x_2 \leq 2\}\\
-	f(x_1,x_2) =
-	\begin{cases}
-		f(x_1)*f(x_2) = \frac{1}{4} & \text{f\"ur } (x_1,x_2) \in M \\
-		0 & \text{sonst}
-	\end{cases}
-\end{align}
-Borelsche Menge:
-\begin{align}
-	B = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 | x_1*x_2 \leq \frac{1}{2}\ = x_2 \leq \frac{1}{2 x_1}\} \\
-	P(x_1x_2 \leq \frac{1}{2}) = \int_B f(x_1, x_2) d(x_1, x_2) = \int 1_B*1_M*\frac{1}{4}
-	d(x_1,x_2)\\
-	\int 1_{B \cap M} * \frac{1}{4} d(x_1,x_2)
-\end{align}
-Schnittmenge aus $B$ und $M$:
-\begin{center}
-	\includegraphics[scale=0.3]{graph.png}
-\end{center}
-\begin{align}
-	B \cap M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\ | (0 \leq x_1 \leq \frac{1}{4} \wedge 0 \leq x_2 \leq
-	2) \vee (\frac{1}{4} \leq x_1 \leq 2 \wedge 0 \leq x_2 \leq \frac{1}{2x_1})\}\\
-	\longrightarrow
-	P(x_1x_2 \leq \frac{1}{2}) = \int^{\frac{1}{4}}_{0} \int^2_0 \frac{1}{4} dx_1dx_2
-	+ \int^2_{\frac{1}{4}} \int^{\frac{1}{2x_1}}_0 \frac{1}{4} dx_2 dx_1
-\end{align}
-\subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen}
-Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf
-einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ existiert,
-ist
-\begin{align}
-	\varepsilon_P X = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)P\{\omega\}
-\end{align}
-
-\section{Marginaldichte - Beispielrechnung}
-\[	
-	f(x_1,x_2)=
-	\begin{cases}
-		ce^{-(2x_1+3x_2)} & x_1  > 0 \: und \: 0 < x_2 <x_1 \\
-		0 & sonst
-	\end{cases}
-\]
-Marginaldichte:
-\[
-	\begin{split}
-		f_1(x_1) 	& = \overbrace{\int_{0}^{x_1}}^{\text{Grenzen von }x_2} f(x_1,x_2) dx_2 \\
-							  & = \int_{0}^{x_1} ce^{-2x_1}e^{-3x_2} \: dx_2 \\
-						   & = \underbrace{c*e^{-2x_1}}_{\text{Konstante, da Integration nach} \: x_2}
-		\overbrace{\int_{0}^{x_1} e^{-3x_2} \: dx_2}^{mit \: 0 \: und \: x_1 \: einsetzen \: integrieren} \\
-		& = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} )
-	\end{split}
-\]
-Gegebenenfalls konnen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist.
-Damit $f(x_1,x_2)$ und $f_2(x_2)$ Dichten sind muss gelten:
-\[
-	\int f_2(x_2) dx_2 = 1
-\]
-bzw:
-\[
-	\int \int f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = 1
-\]
-\section{Transformation von Dichten}
-\begin{center}
-	\begin{tikzpicture}[
-			bend angle=45,
-			scale = 1.5,
-			pre/.style={<-,shorten <=1pt,>=stealth',semithick},
-			post/.style={->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick},
-			mid/.style={-,shorten >=1pt,>=stealth',semithick},
-		place/.style={circle,draw=red!50,fill=red!20,thick}]
-
-		\node[place]  (A) at ( 0,0)[label=above:Before] {$(\Omega, A, P) $};
-		\node[place]  (B) at ( 2,0) {$(R^n, B_n, P^X)$}
-		edge [pre] node [auto] {X} (A);
-		\node[place, align=center]  (C) at ( 2,-3) {$(R^m, B_m, P^G$}
-		edge [pre] node [auto] {$Y = G \circ X$} (A)
-		edge [pre] node [auto] {$G$} (B);
-	\end{tikzpicture}
-\end{center}
-\vspace*{7pt}
-\textbf{Gegeben:} Man hat stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n$ gegeben mit
-Art der Verteilung.
-
-\textbf{Gesucht:} Verteilung von Zufallsvariable $Y$, die sich aus $X_i$ berechnen lässt.
-
-\textbf{Beispiel:}\\
-Welche Verteilung besitzt
-\begin{align}
-	Y = \frac{X_1}{X_1 + X_2}
-\end{align}
-falls $X_1$ und $X_2$ exponentiell verteilt mit Paramter $\lambda$ und stochastisch
-unabhängig sind.
-
-\begin{enumerate}
-	\item Wegen Unabhängigkeit der Variablen $X_1$ und $X_2$ besitzt $P^X$
-		die Dichte $f(x_1,x_2) = f_1(x_1)f_2(x_2)$.
-	\item $M = {(x_1, x_2); x_1 > 0 \text{ und } x_2 > 0}$\\
-		$\longrightarrow$ Wertebereich von $x_n$ anhand von Verteilung ermitteln.
-	\item Gleichungen  $G(x)$ definieren:
-		\begin{align}
-			y_1 &= \frac{x_1}{x_1 + x_2}\\
-			y_2 &= x_2
-		\end{align}
-	\item Funktionaldeterminante ($J_{G}(x)$) der Abbildung $G$ berechnen
-		\begin{align}
-			J_{G}(x) =
-			\text{det} \begin{pmatrix}
-				\frac{\partial G_1}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_1}{\partial x_n} (x) \\
-				\vdots  & \ddots & \vdots  \\
-				\frac{\partial G_n}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_n}{\partial x_n} (x) \\
-			\end{pmatrix}\\
-			J_{G}(x_1,x_2) =
-			\text{det} \begin{pmatrix}
-				\frac{x_2}{(x_1 + x_2)^2} & * \\
-				0 & 1 \\
-			\end{pmatrix} = \frac{x_2}{(x_1 + x_2)^2}
-		\end{align}
-	\item Umkehrabbildung $G^*$ berechnen. Alle Zufallsvariablen werden
-		werden mittels Funktionen verändert: z.B: $y_1 = x_1/x_2$.
-		Jede i-te Funktion nach $x_i$ auflösen.
-		\begin{align}
-			x1 = \frac{y_1y_2}{1 - y_1}\\
-			x_2 = y_2
-		\end{align}
-	\item Gesuchte Funktion: $g(y) = f(G^*(y))\frac{1}{|J_G(G^*(y))|}$\\
-		$\longrightarrow$ Setze für alle $x_i$ dementsprechend $y_i$ ein und multipliziere
-		mit Kehrwehrt von Funktionaldeterminante.
-		\begin{align}
-			g(y_1,y_2) = \lambda^2e^{-\frac{\lambda}{1 - y_1}}\frac{y_2}{(1-y_1)^2}
-		\end{align}
-	\item Mit Marginaldichte $g_1(y_1)$ berechnen:\\
-		\begin{align}
-			g_1(y_1) = \frac{\lambda}{1 - y_1} \int^\infty_0 y_2\frac{\lambda}{1 - y_1}
-			e^{-\frac{\lambda}{1 - y_1}} dy_2\\
-			= \frac{\lambda}{1 - y_1} m_1 (\varepsilon(\frac{\lambda}{1 - y_1}))\\
-			= 1
-		\end{align}
-		$\longrightarrow$ Da Mittelwert der $\varepsilon$-Verteilung gerade Kehrwert des
-		Paramters ist.
-	\item Folgerung: Dichte $g_1$ ist also die der Uniform-Verteilung ($U(0,1)$).
-\end{enumerate}
-
-\end{document}

Vorlesungen/MatheC4/Makefile

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-
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