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Komposition von Zufallsvektor

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Public/MaC4Cheatsheet.tex
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@ -1,5 +1,16 @@
\documentclass{article} \documentclass{article}
\usepackage{amsmath} \usepackage{amsmath}
% -------- Umlaute korrekt ----------------
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[ngerman, english]{babel}
%-------------------------------------------
% TikZ Library
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,backgrounds,positioning,fit,calc,petri}
\usetikzlibrary{shapes, shapes.misc}
\usetikzlibrary{decorations.markings,decorations.pathmorphing}
% -----------------------------------------
\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10} \DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
\title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet} \title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet}
\author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015} \author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015}
@ -234,9 +245,9 @@
% \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation) % \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation)
\subsubsection{Alternatives Beispiel:} \subsubsection{Alternatives Beispiel:}
X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt
Zufallsvarriable $Z = min(X,Y)$, definiert durch $Z( \omega ) = min \{X(\omega),Y(\omega)\}$.\\ \[ Zufallsvarriable $Z = min(X,Y)$, definiert durch $Z( \omega ) = min \{X(\omega),Y(\omega)\}$.\\
\]
\section{Marginaldichte - Beispielrechnung} \section{Marginaldichte - Beispielrechnung}
\[ \[
f(x_z,x_2)= f(x_z,x_2)=
@ -264,23 +275,42 @@ und:
\int \int f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = 1 \int \int f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = 1
\] \]
\section{Koordinatentransformation} \section{Koordinatentransformation}
\end{document} \section{Komposition von Zufallsvektoren}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
bend angle=45,
scale = 1.5,
pre/.style={<-,shorten <=1pt,>=stealth',semithick},
post/.style={->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick},
mid/.style={-,shorten >=1pt,>=stealth',semithick},
place/.style={circle,draw=red!50,fill=red!20,thick}]
\node[place] (A) at ( 0,0)[label=above:Before] {$(\Omega, A, P) $};
\node[place] (B) at ( 2,0) {$(R^n, B_n, P^X)$}
edge [pre] node [auto] {X} (A);
\node[place, align=center] (C) at ( 2,-3) {$(R^m, B_m, P^G$}
edge [pre] node [auto] {$Y = G \circ X$} (A)
edge [pre] node [auto] {$G$} (B);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{7pt}
Problem: Verteilung von $P^G$ gesucht bei gegebenen $P^X$:
\begin{enumerate}
\item Funktionaldeterminante ($J_{G(x)}$) von $G$ berechnen
\item Umkehrabbildung $G^*$ berechnen. Alle Zufallsvariablen werden
werden mittels Funktionen verändert: z.B: $y_1 = x_1/x_2$.
Jede i-te Funktion nach $x_i$ auflösen.
\item Gesuchte Funktion: $g(y) = f(G^*(y))\frac{1}{|J_G(G^*(y))|}$\\
$\longrightarrow$ Setze für alle $x_i$ dementsprechend $y_i$ ein und multipliziere
mit Kehrwehrt von Funktionaldeterminante.
\end{enumerate}
\begin{align}
J_{G(x)} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial G_1}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_1}{\partial x_n} (x) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial G_n}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_n}{\partial x_n} (x) \\
\end{pmatrix}
\end{align}
\end{document}