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TeX
\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
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% -------- Umlaute korrekt ----------------
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[ngerman, english]{babel}
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%-------------------------------------------
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% TikZ Library
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\usepackage{tikz}
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\usetikzlibrary{arrows,backgrounds,positioning,fit,calc,petri}
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\usetikzlibrary{shapes, shapes.misc}
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|
\usetikzlibrary{decorations.markings,decorations.pathmorphing}
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|
% -----------------------------------------
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\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
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\title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet}
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\author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015}
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\date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Statistik}
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\subsection{empirisches arithmetisches Mittel}
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\[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\]
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\subsection{empirischer Median (Zentralwert)}
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\[
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x_{median}=
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\begin{cases}
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\frac{x_{n+1}}{2} & \text{n ungerade} \\
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\frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade}
|
|
\end{cases}
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\]
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Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht.
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\subsection{empirische Varianz}
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\[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\]
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\subsection{Gleichgewichtsverteilung}
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\[
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G_{var} =
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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. \\
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|
. \\
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|
1
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\end{pmatrix}
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*\left [
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\begin{pmatrix}
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1&.&.& 0 \\
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. & 1 &.& . \\
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. & . &1& . \\
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0&.&.&1
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\end{pmatrix}-P+
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\begin{pmatrix}
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1&.&.&1 \\
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.&.&.&. \\
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.&.&.&. \\
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1&.&.&1
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\end{pmatrix}\right ]
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^{-1}
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\]
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Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert.
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\section{Mengen}
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\subsection{o-Algebra}
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- leere Menge enthalten\\
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- alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\
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|
- alle Komplemente enthalten\\ \\
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\textbf{Beispiel:}\\
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Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\
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NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\
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o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\},
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|
\underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}},
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|
\underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}},
|
|
\underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}},
|
|
\{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$
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\section{Wahrscheinlichkeiten}
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\subsection{Wuerfeln}
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\subsubsection{keine 6}
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\[
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p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe}
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\]
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\subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)}
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\[
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|
p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0
|
|
\]
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|
\[
|
|
p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0
|
|
\]
|
|
\[
|
|
p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i
|
|
\]
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|
\subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln}
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$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\
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dann wieder ueber Gegenereignis: \\
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\[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \]
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\subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen}
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\[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\
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|
- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\
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|
- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\
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|
- es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten
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|
\subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen}
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\[ p= \frac{\begin{pmatrix}
|
|
x\\n
|
|
\end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\
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|
\[\begin{pmatrix}
|
|
x\\n
|
|
\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!}
|
|
\]\\
|
|
$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[
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|
p= \frac{\begin{pmatrix}
|
|
x\\n
|
|
\end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n}
|
|
\]
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\subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten}
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z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit
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|
$(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum
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|
(Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\
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also:\\
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\begin{equation}
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|
6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
\frac{1}{4}w_1 = w_2
|
|
\end{equation}\\
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|
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode.
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\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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\subsection{Beispiele}
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\subsubsection{Krankheitstest}
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0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\
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|
\textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\
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\[
|
|
P(K | K_{ident} ) = \frac{P(K_{ident}|K)*P(K)}
|
|
{P(K_{ident}|K)*P(K)+P(K_{ident}|K)*P(\neg K)} =
|
|
\frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\%
|
|
\]
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|
\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen}
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\[
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|
P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}}
|
|
\]\\
|
|
\[
|
|
p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!}
|
|
\]
|
|
bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[
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|
p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5
|
|
\]
|
|
|
|
\section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
|
|
\subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
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\[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\]
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|
und logischerweise:
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|
\[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \]
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|
\subsection{Momenterzeugende Funktion}
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\[
|
|
M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n)
|
|
\]
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|
- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\
|
|
- 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$
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\subsection{Erzeugende Funktion}
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\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen}
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\subsubsection{Mitterlwert}
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\subsubsection{Varianz}
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|
TODO
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\subsection{Mittelwert, Varrianz}
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\begin{itemize}
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\item Mittelwert: $m_1 = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$
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\item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$
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|
\end{itemize}
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|
\section{Verteilungen}
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\subsection{Allgemein}
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|
\subsubsection{Eigenschaften}
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\begin{itemize}
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|
\item stetig
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|
\item monoton steigend
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\item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$
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|
\item Dichte $g(t) = G'(t)$
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|
\item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$
|
|
\end{itemize}
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|
\subsection{Binominalverteilung}
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\subsubsection{Allgemein}
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\[
|
|
\mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) =
|
|
\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline
|
|
\text{mit k = 0,1,2,...,n} \]
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|
- wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B.
|
|
wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2"
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|
\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis
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|
\\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen
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\subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten}
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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler
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|
sind?
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\[
|
|
1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|p,n) \enspace mit \enspace \] \\
|
|
k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500
|
|
(wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass
|
|
ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\
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|
\begin{equation*}
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\begin{split}
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|
1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500)& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2|
|
|
1/500,500) \\
|
|
& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2|
|
|
1/500,500) \\
|
|
& = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08
|
|
\end{split}
|
|
\end{equation*}
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\subsection{Possion-Verteilung}
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\subsubsection{Allgemein}
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Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen
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Bereich (Modell) stattfinden!
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\[
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P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda}
|
|
\]
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\subsection{N(0,1)-Verteilung}
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$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$
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\subsection{Normal-Verteilung}
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$f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-
|
|
\mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$
|
|
\subsection{Exponentiallverteilung}
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|
$f(\lambda) = \lambda*e^{-\lambda t}$
|
|
|
|
\subsection{Laplace-Verteilung}
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|
Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\
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$f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$
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|
\subsection{Hypergeometrische Verteilung}
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|
Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\
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|
$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
|
|
\subsection{Geometrische Verteilung}
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|
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines
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Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\
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|
$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$
|
|
\section{Zufallsvarriablen}
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\subsection{Verteilungen von Zufallsvariablen}
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Wir benoetigen mehrdimensionale integration, d.h. wir \textbf{muessen} wissen von
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|
wo bis wo wir integrieren wollen \\ \\
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\subsubsection{Beispiel, Ereignis gegeben + Verteilungsfunktion gegeben:}
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$Ereignis: \: X_2 > 2X_1 \: => \: \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}}_{X_1}
|
|
\underbrace{\int_{2X_1}^{+\infty}}_{X_2}$\\ \\ \\
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|
$Verteilung: \: expotentiell \: => \: f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda t}$ \\
|
|
$Ausserdem \: sei: \: \lambda_1 = 1 \:\, und \:\, \lambda_2 =2 $\\ \\
|
|
Wir integrieren zunaechst ueber $X_2$ d.h. wir sezten $\lambda = 2$
|
|
\[
|
|
\begin{split}
|
|
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{2X_1}^{+\infty} 2 e^{-2 X_2} \: dX_2 dX_1
|
|
\end{split}
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|
\]
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|
Fuer $X_1$ setzen wir dann dementsprechend $\lambda e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = 1$ ein, dann nur noch das 2te Integral ausrechnen.
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|
% \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation)
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|
\subsubsection{Alternatives Beispiel:}
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X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt
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Zufallsvarriable $Z = min(X,Y)$, definiert durch $Z( \omega ) = min \{X(\omega),Y(\omega)\}$.\\
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|
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\section{Marginaldichte - Beispielrechnung}
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\[
|
|
f(x_z,x_2)=
|
|
\begin{cases}
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|
ce^{-(2x_1+3x_2)} & x_1 > 0 \: und \: 0 < x_2 <x_1 \\
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|
0 & sonst
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|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Marginaldichte:
|
|
\[
|
|
\begin{split}
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|
f_1(x_1) & = \int_{0}^{x_1} f(x_1,x_2) dx_2 \\
|
|
& = \int_{0}^{x_1} ce^{-2x_1}e^{-3x_2} \: dx_2 \\
|
|
& = \underbrace{c*e^{-2x_1}}_{\text{Konstante, da Integration nach} \: x_2} \overbrace{\int_{0}^{x_1} e^{-3x_2} \: dx_2}^{mit \: 0 \: und \: x_1 \: einsetzen \: integrieren} \\
|
|
& = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} )
|
|
\end{split}
|
|
\]
|
|
Gegebenenfalls koennen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist.
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|
Damit $f(x_1,x_2)$ und $f_2(x_2)$ Dichten sind muss gelten:
|
|
\[
|
|
\int f_2(x_2) dx_2 = 1
|
|
\]
|
|
und:
|
|
\[
|
|
\int \int f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 = 1
|
|
\]
|
|
\section{Koordinatentransformation}
|
|
\section{Komposition von Zufallsvektoren}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[
|
|
bend angle=45,
|
|
scale = 1.5,
|
|
pre/.style={<-,shorten <=1pt,>=stealth',semithick},
|
|
post/.style={->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick},
|
|
mid/.style={-,shorten >=1pt,>=stealth',semithick},
|
|
place/.style={circle,draw=red!50,fill=red!20,thick}]
|
|
|
|
\node[place] (A) at ( 0,0)[label=above:Before] {$(\Omega, A, P) $};
|
|
\node[place] (B) at ( 2,0) {$(R^n, B_n, P^X)$}
|
|
edge [pre] node [auto] {X} (A);
|
|
\node[place, align=center] (C) at ( 2,-3) {$(R^m, B_m, P^G$}
|
|
edge [pre] node [auto] {$Y = G \circ X$} (A)
|
|
edge [pre] node [auto] {$G$} (B);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\vspace*{7pt}
|
|
Problem: Verteilung von $P^G$ gesucht bei gegebenen $P^X$:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Funktionaldeterminante ($J_{G(x)}$) von $G$ berechnen
|
|
\item Umkehrabbildung $G^*$ berechnen. Alle Zufallsvariablen werden
|
|
werden mittels Funktionen verändert: z.B: $y_1 = x_1/x_2$.
|
|
Jede i-te Funktion nach $x_i$ auflösen.
|
|
\item Gesuchte Funktion: $g(y) = f(G^*(y))\frac{1}{|J_G(G^*(y))|}$\\
|
|
$\longrightarrow$ Setze für alle $x_i$ dementsprechend $y_i$ ein und multipliziere
|
|
mit Kehrwehrt von Funktionaldeterminante.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
J_{G(x)} =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
\frac{\partial G_1}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_1}{\partial x_n} (x) \\
|
|
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
\frac{\partial G_n}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_n}{\partial x_n} (x) \\
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{align}
|
|
\end{document}
|