commit 2afc1130e86838f716cc8f826ece20ef6b8a21f4 Author: Sheppy Date: Wed Sep 30 15:41:19 2015 +0200 new file: Public/Koinduktio_reduktion.tex new file: Public/MaC4Cheatsheet.tex diff --git a/Public/Koinduktio_reduktion.tex b/Public/Koinduktio_reduktion.tex new file mode 100644 index 0000000..8346925 --- /dev/null +++ b/Public/Koinduktio_reduktion.tex @@ -0,0 +1,108 @@ + \documentclass{article} + \usepackage{amsmath} + \usepackage{nccmath} + \DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10} + \setlength{\parindent}{0pt} + \title{Ko-Rekursion/-Induktion} + \author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015} + \date{ } + \begin{document} + \maketitle + \section{Korekursion} + \textbf{Gegeben:} + \begin{fleqn} + \begin{align*} + co&data Signal\:where \\ + & \enspace currentSample : Signal \rightarrow Int \\ + & \enspace discardSample : Signal \rightarrow Signal + \end{align*} + \end{fleqn} + \textbf{sowie:} + \begin{fleqn} + \begin{align*} + ¤tSample(flat\:x) = x & + &discardSample(flat\:x) = flat\:x \\ + ¤tSample(square\:x\:y) & + &discardSample(square\:x\:y) + \end{align*} + \end{fleqn} + \textbf{Es soll gelten:}\\ + sampler t s\enspace = s , wenn $t>0$ und 0 sonst\\ + sowie insbesondere: + \begin{fleqn} + \begin{align*} + &sampler:\:Signal\rightarrow Signal\rightarrow Signal \\ + &sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0) = flat\:0 \\ + &sampler(square\:1\:0)(flat\:x) = square\:x\:0 \\ + \end{align*} + \end{fleqn} + \textbf{Schritt 1:}\\ + $\rightarrow$ sampler Funktion in codata-Funktionen einsetzen + \begin{fleqn} + \begin{align*} + ¤tSample(sampler\:t\:s)\\ + &discardSample(sampler\:t\:s) + \end{align*} + \end{fleqn} + \textbf{Schritt 2:}\\ + $\rightarrow$ Bedingung von oben bei erster Funktion anwenden also: + \begin{fleqn} + \begin{align*} + currentSample(sampler\:t\:s) = \:&if\:(currentSample\:\:t>0)\\ + &then\:(currentSample\:\:s)\\ + &else\:(flat\:\:0) + \end{align*} + \end{fleqn} + \textbf{sowie zweite Formel zum Aufteilen verwenden:} + \begin{fleqn} + \begin{align*} + discardSample(sampler\:t\:s) = sampler(discardSample\:\:t)(discardSample\:\:s) + \end{align*} + \end{fleqn} + \newpage + \section{Ko-Induktion:} + \textbf{Induktionsanfang:}\\ + $\rightarrow$ anhand erster Formel 'R' aufstellen + \[ R = \{ \underbrace{sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0)}_{linke\:Seite},\underbrace{flat\:0}_{rechte\:Seite} \:|\: \underbrace{x\in Int}_{von\:oben}\}\] + $\rightarrow$ "R ist Bisimulation" hinschreiben, linke Seite aufloesen\\ + \[ sampler(square\:0\:1)(square\:x\:0) = 0 \] + $\rightarrow$ wenn hier am Endde kein Term rauskommt, dann koennen wir einfach die \textbf{rechte Seite bei der normalen Funktion} einsetzen und selbige aufloesen: + \[ currentSample(flat\;0) = 0 \] + $\rightarrow$ sehr gut, die rechten Seiten sind gleich wir sind hier also fertig\\ \\ + \textbf{zweite Bedingung:} + \[discardSample(sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)) = sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)\] + \textit{das ist doof denn:} + \[discardSample(flat 0) = 0\] + \textbf{Schritt 3:}\\ + \[R' = R \;\cup\;\{\underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{aufgeloeste\;2.\;Bedingung},flat\;0\:|\:x\in Int\}\] + wir muessen jetzt zeigen: + \[ + currentSample(\underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{hier\;=\;0}) = \underbrace{currentSample(flat\;0)}_{hier\;=\;0} + \] + passt also, jetzt wie oben auch zweite Funktion: + \[ + discardSample(sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)) = \underbrace{sampler(square\:1\:0)(square\:0\:x)}_{wieder\;linke\;Seite\;in\;R'}\]\[ + discardSample(flat\;0) = \underbrace{flat\;0}_{wieder\;rechte\;Seite} + \] + und fertig!\\\\ + \begin{tiny} + \copyright\ Joint-Troll-Expert-Group (JTEG) 2015 + \end{tiny} + \newpage + + + + + + + + + + + + + + + + +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Public/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/MaC4Cheatsheet.tex new file mode 100644 index 0000000..1a1e848 --- /dev/null +++ b/Public/MaC4Cheatsheet.tex @@ -0,0 +1,286 @@ + \documentclass{article} + \usepackage{amsmath} + \DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10} + \title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet} + \author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015} + \date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!} + \begin{document} + \maketitle + \section{Statistik} + \subsection{empirisches arithmetisches Mittel} + \[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\] + \subsection{empirischer Median (Zentralwert)} + \[ + x_{median}= + \begin{cases} + \frac{x_{n+1}}{2} & \text{n ungerade} \\ + \frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade} + \end{cases} + \] + Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht. + \subsection{empirische Varianz} + \[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\] + \subsection{Gleichgewichtsverteilung} + \[ + G_{var} = + \begin{pmatrix} + 1 \\ + . \\ + . \\ + 1 + \end{pmatrix} + *\left [ + \begin{pmatrix} + 1&.&.& 0 \\ + . & 1 &.& . \\ + . & . &1& . \\ + 0&.&.&1 + + \end{pmatrix}-P+ + \begin{pmatrix} + 1&.&.&1 \\ + .&.&.&. \\ + .&.&.&. \\ + 1&.&.&1 + \end{pmatrix}\right ] + ^{-1} + \] + Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert. + \section{Mengen} + \subsection{o-Algebra} + - leere Menge enthalten\\ + - alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\ + - alle Komplemente enthalten\\ \\ + \textbf{Beispiel:}\\ + Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\ + NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\ + o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\}, + \underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}}, + \underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}}, + \underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}}, + \{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$ + + \section{Wahrscheinlichkeiten} + \subsection{Wuerfeln} + \subsubsection{keine 6} + \[ + p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe} + \] + \subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)} + \[ + p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0 + \] + \[ + p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0 + \] + \[ + p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i + \] + \subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln} + $Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\ + dann wieder ueber Gegenereignis: \\ + \[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \] + \subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen} + \[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\ + - $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\ + - es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\ + - es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten + \subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen} + \[ p= \frac{\begin{pmatrix} + x\\n + \end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\ + \[\begin{pmatrix} + x\\n + \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!} + \]\\ + $\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[ + p= \frac{\begin{pmatrix} + x\\n + \end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n} + \] + \subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten} + z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit + $(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum + (Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\ + also:\\ + \begin{equation} + 6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation} + \begin{equation} + \frac{1}{4}w_1 = w_2 + \end{equation}\\ + Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode. + + \section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten} + \subsection{Beispiele} + \subsubsection{Krankheitstest} + 0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\ + \textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\ + \[ + P(K | K_{ident} ) = \frac{P(K_{ident}|K)*P(K)} + {P(K_{ident}|K)*P(K)+P(K_{ident}|K)*P(\neg K)} = + \frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\% + \] + \subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen} + \[ + P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}} + \]\\ + \[ + p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!} + \] + bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[ + p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5 + \] + + \section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen} + \subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen} + \[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\] + und logischerweise: + \[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \] + \subsection{Momenterzeugende Funktion} + \[ + M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n) + \] + - f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\ + - 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ + \subsection{Erzeugende Funktion} + \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen} + \subsubsection{Mitterlwert} + \subsubsection{Varianz} + TODO + \subsection{Mittelwert, Varrianz} + \begin{itemize} + \item Mittelwert: $m_1 = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$ + \item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$ + \end{itemize} + \section{Verteilungen} + \subsection{Allgemein} + \subsubsection{Eigenschaften} + \begin{itemize} + \item stetig + \item monoton steigend + \item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$ + \item Dichte $g(t) = G'(t)$ + \item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$ + \end{itemize} + \subsection{Binominalverteilung} + \subsubsection{Allgemein} + \[ + \mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) = + \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline + \text{mit k = 0,1,2,...,n} \] + - wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B. + wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2" + \\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis + \\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen + + \subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten} + Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler + sind? + \[ + 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|p,n) \enspace mit \enspace \] \\ + k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500 + (wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass + ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\ + \begin{equation*} + \begin{split} + 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500)& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2| + 1/500,500) \\ + & = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2| + 1/500,500) \\ + & = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08 + \end{split} + \end{equation*} + \subsection{Possion-Verteilung} + \subsubsection{Allgemein} + Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen + Bereich (Modell) stattfinden! + \[ + P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda} + \] +\subsection{N(0,1)-Verteilung} + $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$ +\subsection{Normal-Verteilung} + $f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x- + \mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$ +\subsection{Exponentiallverteilung} + $f(\lambda) = \lambda*e^{-\lambda t}$ + +\subsection{Laplace-Verteilung} + Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\ + $f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$ +\subsection{Hypergeometrische Verteilung} + Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\ + $f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ +\subsection{Geometrische Verteilung} + Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines + Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\ + $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ +\section{Zufallsvarriablen} +\subsection{Verteilungen von Zufallsvariablen} + Wir benoetigen mehrdimensionale integration, d.h. wir \textbf{muessen} wissen von + wo bis wo wir integrieren wollen \\ \\ + \subsubsection{Beispiel, Ereignis gegeben + Verteilungsfunktion gegeben:} + $Ereignis: \: X_2 > 2X_1 \: => \: \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}}_{X_1} + \underbrace{\int_{2X_1}^{+\infty}}_{X_2}$\\ \\ \\ + $Verteilung: \: expotentiell \: => \: f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda t}$ \\ + $Ausserdem \: sei: \: \lambda_1 = 1 \:\, und \:\, \lambda_2 =2 $\\ \\ + Wir integrieren zunaechst ueber $X_2$ d.h. wir sezten $\lambda = 2$ + \[ + \begin{split} + \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{2X_1}^{+\infty} 2 e^{-2 X_2} \: dX_2 dX_1 + \end{split} + \] + Fuer $X_1$ setzen wir dann dementsprechend $\lambda e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = 1$ ein, dann nur noch das 2te Integral ausrechnen. + % \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation) + \subsubsection{Alternatives Beispiel:} + X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt +Zufallsvarriable $Z = min(X,Y)$, definiert durch $Z( \omega ) = min \{X(\omega),Y(\omega)\}$.\\ \[ + +\] +\section{Marginaldichte - Beispielrechnung} +\[ +f(x_z,x_2)= + \begin{cases} + ce^{-(2x_1+3x_2)} & x_1 > 0 \: und \: 0 < x_2