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\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{nccmath}
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\usepackage{ulem}
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\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\title{Ko-Rekursion/-Induktion}
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\date{Oktober 2015}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{In Funktionsschreibweise bringen}
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Infixnotation:
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\[x \uparrow ( y \uparrow z) \rightarrow_{0}\; x \uparrow (y \downarrow y)\]\\
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Funktionsschreibweise:
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\[ P_{\uparrow}(x,P_{\uparrow}(y,z)) \rightarrow_{0} \; P_{\uparrow}(x,P_{\downarrow}(y,y))\]
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\section{Kontext ggf. kuerzen}
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\[ P_{\uparrow}(x,P_{\uparrow}(y,z)) \rightarrow_{0} \; P_{\uparrow}(x,P_{\downarrow}(y,y))\]
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\[\xout{P(x},P_{\uparrow}(y,z)) \rightarrow_{0} \; \xout{P(x},P_{\downarrow}(y,y)))\]
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\[P_{\uparrow}(y,z) \rightarrow_{0} \;P_{\downarrow}(y,y)\]
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\section{Polynom finden}
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\[P_{\uparrow}(y,z) \rightarrow_{0} \;P_{\downarrow}(y,y)\]
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Ein "+" zwischen die Parameter setzen und Multiplikator vor beide sodass gilt:
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\[P_{\uparrow}(y,z) > \;P_{\downarrow}(y,y)\;\;\textbf{\underline{bzw:}}\;\;ay+bx>cy+dy\]
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\textbf{Hinweise:}\\
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- linke Seite ist syntaktisch echt gr\"osser als die Rechte ist aussreichendes Kriterium also z.B.:
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\[ P_{\downarrow}( P_{\downarrow}(x,y) ) > P_{\downarrow}(x,y) \]
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- niemals Minuswerte \\
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- niemals '0' als Multiplikator\\\\
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\textbf{hier:}
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\[ay+bx>cy+dy\]
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\textbf{Wir nehmen an dass wir 'y' hoch genug setzen damit bx irrelevant wird:}\\
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\[ay>cy+dy = a>c+d \]
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\\ \textbf{das ist nun trivial, wir raten:}
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\begin{fleqn}
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\begin{align*}
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&c = 1 \\
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&d = 1 \\
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&a = c+d+1 = 3
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\end{align*}
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\end{fleqn} \\
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\textbf{und damit die Polynome:}\\
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\[P\downarrow = x_1+x_2 \;\;\; und \;\;\; P\uparrow = 3x_1+x_2 \] \\
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\section{Dom\"anen und Grenzf\"alle}
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Unsere Polynome gelten potentiell f\"ur kleine Werte nicht, hier, nur f\"ur die 0 nicht, daher geben wir als Dom\"ane an:
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\[ A = N\setminus\{0\} \]
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und Funktionsdom\"ane:\\
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\[\mathcal{A} = \{P(*),P(*)\}\]
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\end{document} |