\documentclass{article}
	\usepackage{amsmath}
	\usepackage{nccmath}
	%\usepackage{bussproofs}
	%dieses Paket koennte man fuer die typherleitung verwenden wenn man wollte
	\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
	\setlength{\parindent}{0pt}
	\title{System F und Reduktionsreihenfolge}
	\date{ }
	\begin{document}
	\section{Generelles}
		\subsection{Normale-/Lazy-Reduktion}
			- pre-order durch Baum ("von unten nach oben auswerten")	\\
			- leftmost-outermost\\
			- Argumente zum Schluss auswerten
			\begin{align*}			
				pow(a,pow(c,b))\:\:	& mit\;linkem\;pow\;anfangen\\
									& dann\;a\\
									& dann\;rechtes\;pow\\
									& dann\;c\\
									& dann\;d
			\end{align*}
		\subsection{Applikative Reduktion:}
			- post-order durch Baum ("von oben nach unten")\\
			- leftmost-innermost\\
			- als erstes die Argumente auswerten
			\begin{align*}
				pow(a,pow(c,b))\:\: & mit\;c\;anfangen
				\enspace\;\;\;\;\;\;\;\;\;\enspace\;\;\;\;
											\\
									& dann\;b\\
									& dann\;a\\
									& dann\;rechtes\;pow\\
									& dann\;linkes\;pow
			\end{align*}
		\subsection{How to work with Lambda}
			- Buchstabe hinter $\lambda $ wegnehmen\\
			- Term von der respektiven Stelle hinten entfernen\\
			- alle Vorkommen des Buchstabens mit dem Term ersetzen\\
			- idealerweise bei mehreren $\lambda$ in einem Term \textbf{immer} verschiedene Buchstaben verwenden
	\section{SS14-Probeklausur Beispielaufgabe}
	\subsection*{1) Reduktion}
	\subsubsection*{a) Normal/Lazy}
		\begin{align*}
			 pow2\;three\;	&=\;	three\;(mult\;two)\;one\\
			 				&=\;	\lambda f\,a\, .\,f\,(\,f\,(\,f\;a\,)(\,mult\;two)\;one\\
			 				&=\;	\lambda a\, .\, (mult\;two)\,((mult\;two)\,((mult\;two)\;a\,)\;one\\
			 				&=\;	(mult\;two)\,((mult\;two)\,((mult\;two)\;one\,)
		\end{align*}
	\subsubsection*{b) Aplikativer Reihenfolge}
		\begin{align*}
			pow2\;three\;	&=\;	pow2\; (\, \lambda f\,a\, .\,f\,(\,f\,(\,f\;a\,) \,)\\
							&=\;	(\, \lambda f\,a\, .\,f\,(\,f\,(\,f\;a\,) \,)(mult\;two)\;one\\
							&=\;	(\, \lambda f\,a\, .\,f\,(\,f\,(\,f\;a\,) \,)(mult\;\lambda g\,b\, .\,g\,(\,g\;b\,))\;one\\
							&=\;	(\, \lambda f\,a\, .\,f\,(\,f\,(\,f\;a\,) \,)(mult\;\lambda g\,b\, .\,g\,(\,g\;b\,))\;(\lambda h\,c\, .\,h\;c)\\
		\end{align*}
	kleine Anmerkung hierzu noch:
	\[
		\underbrace{(\, \lambda f\,a\, .\,f\,(\,f\,(\,f\;a\,) \,)}_{oberste\;Funktion}
		\underbrace{(mult\;\lambda g\,b\, .\,g\,(\,g\;b\,))}_{erstes\;Argument}
		\;
		\underbrace{(\lambda h\,c\, .\,h\;c)}_{zweites\;argument}
	\]
	d.h. wir w\"urden hier beim ersten Argument weitermachen und "mult" aufl\"osen
	(beim zweiten g\"abe es gerade auch gar nichts mehr zu machen)

	\subsection*{2) Typherleitung}
	
	
	$
	\{
		
	\}
	$
	\\
	%Zeile 1	
	$
	\{
		\,mult\;:\;
		\mathrm{N}\rightarrow\mathrm{N}\rightarrow\mathrm{N}\rightarrow ,
		one\; : \; \mathrm{N},\,two\;\mathrm{N}\,
	\}
	\vdash \; \lambda n.\,n\,(\, mult \; two\,)\;one\,:\mathrm{N}\rightarrow\mathrm{N}
	$	
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
	
\begin{tiny}
	\copyright\ Joint-Troll-Expert-Group (JTEG) 2015
\end{tiny}
\end{document}