diff --git a/MatheC4/MaC4Cheatsheet.tex b/MatheC4/MaC4Cheatsheet.tex new file mode 100644 index 0000000..495d895 --- /dev/null +++ b/MatheC4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -0,0 +1,621 @@ +\documentclass{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +% -------- Umlaute korrekt ---------------- +\usepackage{ngerman} +\usepackage[latin1, utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman, english]{babel} +%------------------------------------------- + +% TikZ Library +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows,backgrounds,positioning,fit,calc,petri} +\usetikzlibrary{shapes, shapes.misc} +\usetikzlibrary{decorations.markings,decorations.pathmorphing} + +% Verlinkung von Url und Kapiteln +\usepackage{hyperref} +% Einrueckung unterbinden nach Absatz +\setlength{\parindent}{0pt} + +\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10} +\title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet} +\author{greeny, nudelsalat, Sheppy\\September 2015} +\date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!} +\begin{document} +\maketitle +\tableofcontents +\newpage +\section{Statistik} +\subsection{empirisches arithmetisches Mittel} +\[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\] +\subsection{empirischer Median (Zentralwert)} +\[ + x_{median}= + \begin{cases} + \frac{x_{n+1}}{2} & \text{n ungerade} \\ + \frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade} + \end{cases} +\] +Wobei der Index f\"ur die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht. +\subsection{empirische korrigierte Varianz} +\[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{arith})\] +\subsection{Regressionsgerade} +\textbf{Gauss'sche Normalengleichung} +Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung gel\"ost. +\begin{align} + \begin{pmatrix} + \sum x_i^2 & \sum x_i \\ + \sum x_i & n + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + a \\ + b + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \sum x_i*y_i \\ + \sum y_i + \end{pmatrix} \text{, mit $i \in n$} +\end{align} +$\rightarrow$ Auflösen nach Parametern $a,b$.\\ +\textbf{Regressionsgerade}: +\begin{align} + y(x) = a*x + b +\end{align} + +\subsection{Maximum-Likelyhood Methode} +\textbf{Problembeschreibung}: Man m\"ochte f\"ur einen unbekannten Parameter $\lambda$ +einer Verteilung, die mindestens einen Parameter besitzt, einen Sch\"atzwert bestimmen +mithilfe einer konkreten Stichprobe $(x_1, \ldots, x_n)$. + +\begin{enumerate} + \item Likelihood-Funktion $L(\lambda)$ bilden f\"ur gegebene Verteilung + \begin{align} + L(\lambda) = L(x_1, \ldots, x_n; \lambda) = = \prod_{i=1}^n + \underbrace{f}_{\text{Dichtefunktion}}(x_i, \lambda)\\ + \end{align} + Im Falle von Exponentialverteilung:\\ + \begin{align} + \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n * e^{-\lambda * \sum_{i=1}^{n}x_i} + \end{align} + \item Funktion $L(\lambda)$ mit $\ln$ multiplizieren\\ + Rechenregeln f\"ur $\ln$: + \begin{itemize} + \item $\ln a^b = b * \ln a$ + \item $\ln (a*b) = \ln a + \ln b$ + \end{itemize} + \item Ableiten nach $\lambda$: $\frac{\partial \ln * L(\lambda)}{\partial \lambda}$ + \item Funktion gleich $0$ setzen und nach $\lambda$ aufl\"osen. +\end{enumerate} + +\subsection{Konfidenzintervalle} +Standartwerte f\"ur Konfidenz: +\begin{align*} + 90\%:z = 1.65\\ + 95\%:z = 1.96\\ + 99\%:z = 2.58 +\end{align*} + +\begin{align} + P(|\bar{x}-\mu| \geq c) = \alpha \\ + \mu \in [\bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}] +\end{align} + +\subsection{Kovarianz} +Sind zwei Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ stochastisch unabh\"angig dann +gilt: + +\begin{align} + cov(X_1,X_2) = 0 +\end{align} + +Ansonsten: +\begin{align} + cov(X_1,X_2) = E(X_1X_2) - E(X_1)E(X_2) +\end{align} +\textbf{Erwartungswert}: +\begin{align} + EX = \sum_{k \in \Omega} k * P(X = k) = \int_{-\infty}^{\infty} x * f(x) dx +\end{align} +\textbf{Beispiel}: +Berechnen der Kovarianz der Zufallsvariablen $Z_1 = X_1 - X_2$ und $Z_2 = X_1$, +wenn der Zufallsvektor $(X_1,X_2)$ auf der Menge +\begin{align} + M = \{(x_1,x_2)| 0 \leq x_2 \leq 2 \text{ und } 0 \leq x_1 \leq x_2\} +\end{align} +\textbf{Gesucht}: $cov(Z_1, Z_2)$ +\begin{enumerate} + \item Kovavarianz umformen + \begin{align} + cov(Z_1, Z_2) = cov(X_1-X_2, X_1) = (E(X^2_1)-E(X_1)^2)-(E(X_2X_1)-E(X_2)E(X_1)) + \end{align} + \item Die \textbf{Fl\"ache} $A_M$ unter Funktion berechnen: $A_M = 2$.\\ + \item Die \textbf{Dichtefunktion} ist der Kehrwert von $A_M$ und damit $\frac{1}{2}$. + \begin{align} + f(x_1,x_2) = + \begin{cases} + \frac{1}{2} & x_1,x_2 \in M \\ + 0 & sonst + \end{cases} + \end{align} + \item Jetzt wieder mittels \textbf{Marginalsdichte} $f(x_1)$ und $f(x_2)$ bestimmen. + \begin{align} + f_1(x_1) = \int_{x_1}^2 f(x_1,x_2) dx_2\\ + f_2(x_2) = \int_{0}^{x_2} f(x_1,x_2) dx_1 + \end{align} + \item Berechnung der ben\"otigten Erwartungswerte $E$: + \begin{align} + E(X_i) = \int_{0}^{2} x_i * f_i(x_i) dx\\ + E(X_i^2) = \int_{0}^{2} x_i^2 * f_i(x_i) dx\\ + E(X_1X_2) = \underbrace{\int_0^{2}\int_{0}^{x_2}}_{\text{Integration \"uber $x_1$ und + $x_2$}} x_1*x_2*f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \end{align} + \item Einsetzen in umgeformte Kovarianzformel (siehe 1) +\end{enumerate} +\subsection{Markov-Ketten} +\begin{itemize} + \item Bei Übergangsmatrix $P \in (\mathbb{R}_{\geq 0})^{r x r}$ sind alle Zeilensummen gleich $1$. + \item Vektor $\vec{u} \in (\mathbb{R}_{\geq 0})^{r}$ mit $||\vec{u}||_1 = 1$ + der + \begin{align} + \vec{u} = P^T \cdot \vec{u} + \end{align} + erfüllt, heißt \textbf{Gleichgewichtszustand/-verteilung}. + \item \textbf{Berechnung} von $\vec{u}$: $\text{Kern}(P^T - \text{ Id}_r)$.\\$\rightarrow$ + Kern wird berechnet durch klassischen Gauß- Algorithmus. Wenn keine + eindeutige Lsg (z.B. $0 = 0$), dann Variable beliebig wählen. Es gibt + immer einen Kern, da Determinante $0$ garantiert ist durch obige\\ + Summenbedingung. + \item Vektoreinträge müssen positiv sein, sonst Fehler. + \item Vektor $\vec{u}$ durch $||\vec{u}||_1$ (Summennorm) teilen. + \begin{align} + ||\vec{u}||_1 := \sum^n_{i=1}|x_i| + \end{align} +\end{itemize} +\section{Mengen} +\subsection{o-Algebra} +- leere Menge enthalten\\ +- alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\ +- alle Komplemente enthalten\\ \\ +\textbf{Beispiel:}\\ +Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\ +NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\ +o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\}, + \underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}}, + \underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}}, + \underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}}, +\{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$ + +\section{Wahrscheinlichkeiten} +\subsection{W\"urfeln} +\subsubsection{keine 6} +\[ + p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der W\"urfe} +\] +\subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)} +\[ + p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0 +\] +\[ + p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0 +\] +\[ + p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i +\] +\subsubsection{6er-Pasch bei 2 W\"urfeln} +$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl g\"unstiger Ereignisse = 1 , n\"ahmlich (6,6)}$\\ +dann wieder \"uber Gegenereignis: \\ +\[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \] +\subsubsection{genau eine 6 bei n-W\"urfeln/W\"urfen} +\[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\ +- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtm\"oglichkeiten \\ +- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\ +- es bleiben bei den verbleibenden n-1 W\"urfen 5 M\"oglichkeiten +\subsubsection{genau x-6er bei n-W\"urfeln/W\"urfen} +\[ p= \frac{\begin{pmatrix} + n\\k +\end{pmatrix}5^{(n-k)}}{6^n}\]\\ +\[\begin{pmatrix} + n\\k + \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!} +\]\\ +$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl M\"oglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei W\"urfel):}$\[ + p= \frac{\begin{pmatrix} + n\\k + \end{pmatrix}(z-1)^{(n-k)}}{z^n} +\] +\subsubsection{X-Mal Werfen, min eine 3 unter der Bedingung min. eine 6} +A = min. eine 3 \\ +B = min. eine 6 \\\\ +\textbf{gesucht:} \[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \] +\[P(B) = 1-P(keine\;6) = 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}\] +\textbf{Idee:} +\begin{align*} + P(A\cap B) &= 1-P(\neg (A\cap B))\\ + &= 1-P(\neg A \cup \neg B)\\ + &= 1-P(\neg A) - P(\neg B) + P(\neg A \cap \neg B)\\ + &= 1-P(keine\;3)-P(keine\;6)+P(weder\;3\;noch\;6)\\ + &= 1-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{4}{6}\right)^4 = 1- \frac{994}{1296} +\end{align*} +...und das dann nur noch oben einsetzen und fertig. +\[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \] +also: +\[P(A|B) = \frac{\frac{994}{1296}}{\frac{625}{1296}}\] + +\subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten} +z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit +$(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum +(Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\ +also:\\ +\begin{equation} +6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation} +\begin{equation} + \frac{1}{4}w_1 = w_2 +\end{equation}\\ +Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode. + +\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten} +\subsection{Beispiele} +\subsubsection{Krankheitstest} +0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\ +Ereignis $A_1$: Person ist krank\\ +Ereignis $A_2$: Person ist gesund\\ +Ereignis $B$: Test identifiziert Person als krank.\\ + +\textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\ +\[ + P(A_1 | B ) = \frac{P(B|A_1)*P(A_1)} + {P(B|A_1)*P(A_1)+P(B| A_2)*P(A_2)} = + \frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\% +\] + +\vspace*{10pt} + +L\"osung mittels \textbf{Formel von Bayes}: +\begin{align} + P(B_k/A) = \frac{P(A|B_k) * P(B_k)}{\sum_{j \in J} P(A|B_j) * P(B_j)} +\end{align} +Dieser Vorgang wird auch \textbf{R\"uckw\"artsinduktion} genannt. Angenommen man +kennt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis unter einer gewissen Bedingung (hier Test +schl\"agt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund +$P(B|A_2)$), dann kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit +mit dieser Formel berechnen. Hier: Wie wahrscheinlich ist es, dass Person krank ist, unter +Bedingung, dass Test das gemeldet hat $P(A_1|B)$. + +\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen} +\[ + P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen + UND min. eine 6}}{\text{M\"oglichkeiten verschiedene Augenzahlen}} +\]\\ +\[ + p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!} +\] +bei 3 W\"urfeln also z.B.:\[ + p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5 +\] + +\section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen} +\subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen} +\[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\] +und logischerweise: +\[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \] +\subsection{Absoluten Momente diskreter Verteilungen} +Ist f\"ur $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$, +so heisst +\begin{align} + m_k = m_k(P) = \sum_{x \in X} x^kf(x) +\end{align} +das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P. + +\subsubsection{Mittelwert, Varianz} +\begin{itemize} + \item Mittelwert: $m_1 = m_1(P) = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$ + \item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$ +\end{itemize} +\subsubsection{Momenterzeugende Funktion} +\[ + M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n) +\] +- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\ +- 'n' k\"onnte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ + +\vspace*{15pt} +\textbf{Berechnungsvorschrift} f\"ur das k-te Moment: +\begin{enumerate} + \item Berechne k-te Ableitung $M^k$ von $M(t)$ + \item $m_i = M^{(k)}(0)$ +\end{enumerate} +\subsection{Erzeugende Funktion} +\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen} +\textbf{Gegegeben:} Eine erzeugende Funktion $\hat{f}(z)$ gegeben. +\begin{align} + \hat{f}(z) = \sum^{\infty}_{k=0} f(k)z^k +\end{align} +\textbf{Gesucht:} Die Funktion $f(k)$ + +M\"oglichkeit 1: Taylorentwicklung +\begin{align} + \hat{f}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\hat{f}^{(k)}(0)z^k\\ + \Rightarrow f(k) = \frac{1}{k!} \hat{f}^{k}(0) +\end{align} + +M\"oglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zur\"uckf\"uhren (z.B. geometrische +Reihe) +\subsubsection{Mittelwert $m_1$} +\begin{align} + M(t) = \hat{f}(e^t)\\ + m_1 = M'(t)|_{t=0} = \hat{f}'(e^t)e^t|_{t=0} = \hat{f}'(1) +\end{align} +\subsubsection{Varianz $\hat{m}_2$} +\begin{enumerate} + \item Zuerst \textbf{zweites Moment} berechnen: + \begin{align} + m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1) \rightarrow \text{, falls \textbf{Erzeugende-Funktion} + (hier)}\\ + m_2 = \hat{f}''(0) \rightarrow \text{, falls \textbf{Momenterzeugende-Funktion}} + \end{align} + \item Dann \textbf{Varianz}: + \begin{align} + \hat{m}_2 = m_2 - m_1^2 + \end{align} + Siehe unten f\"ur $m_2$ Berechnungsvorschrift! +\end{enumerate} +\section{Verteilungen und Verteilungsfunktionen} +\subsection{Allgemein} +\subsubsection{Eigenschaften Verteilungsfunktionen} +\begin{itemize} + \item stetig + \item monoton steigend + \item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$ + \item Dichte $g(t) = G'(t)$ + \item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$ +\end{itemize} +\subsection{Binominalverteilung} +\subsubsection{Allgemein} +\[ + \mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) = +\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline +\text{mit k = 0,1,2,...,n} \] +- wobei diese Funktion die \textbf{kumulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B. +wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2" +\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit f\"ur ein positives Ereignisse +\\ - n ist Anzahl wie oft wir ziehen + +\subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten} +Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler +sind? +\[ +1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k,p,n) \enspace mit \enspace \] \\ +k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500 +(wir ziehen Fehler "ohne zur\"ucklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass +ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\ +\begin{equation*} + \begin{split} + 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500) + & = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2|1/500,500) \\ + & = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08 + \end{split} +\end{equation*} +\subsection{Poisson-Verteilung} +\subsubsection{Allgemein} +Ereignisse m\"ussen mit konstanter Rate, unabh\"angig voneinander und in einem festen +Bereich (Modell) stattfinden! +\[ + P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda} +\] +\subsection{Normal-Verteilung $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$} +$f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x- +\mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$ +\subsubsection{$\mathcal{N}(0,1)$-Verteilung} +$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$ +\subsection{Exponentiallverteilung} +\textbf{Dichtefunktion}: +\begin{align} f_\lambda(x) = + \begin{cases} + \lambda*e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ + 0 & x < 0 + \end{cases} +\end{align} +\textbf{Verteilungsfunktion}: +\begin{align} F(x) = \int_0^x f_\lambda(t) dt = + \begin{cases} + 1 - e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ + 0 & x < 0 + \end{cases} +\end{align} +\subsection{Laplace-Verteilung} +Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\ +$f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$ +\subsection{Hypergeometrische Verteilung} +Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\ +$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ +\subsection{Geometrische Verteilung} +Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten +eines Ereignisses unter der Annahme der Ged\"achtnislosigkeit. \\ +$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ +\subsection{Uniform-Verteilung $\mathcal{U}(a,b)$} +\textbf{Dichtefunktion}: +\begin{align} f(x) = + \begin{cases} + \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ + 0 & sonst + \end{cases} +\end{align} +\textbf{Verteilungsfunktion}: +\begin{align} F(x) = + \begin{cases} + 0 & x \leq a\\ + \frac{x - a}{b - a} & a < x < b \\ + 1 & x \geq b\\ + \end{cases} +\end{align} + +\section{Zufallsvariablen} +\subsection{Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen} +\textbf{Problembeschreibung}: Berechnung von Wahrscheinlichkeit des +Ereignisses $(X_1 > a * X_2)$ o.\"a. +Zufallsvariablen $X_1, X_2$ sind dabei stochastisch +unabh\"angig. Die Verteilungen von $X_i$ haben dabei die Dichten +$f_i$.\\ +Somit gilt nach der Marginalsdichte: $f(x_1,x_2) = f_1(x_1)*f_2(x_2)$. + +\begin{align} + P(X_1 > a * X_2) = \int \int_{x_1>a*x_2} f_1(x_1)*f_2(x_2) dx_1dx_2 := I +\end{align} +In Abh\"angigkeit von Reihenfolge, in der die Integration \"uber die Variablen +$x_1$ und $x_2$ durchgef\"uhrt werden, ergeben sich zwei Darstellungen: + +\begin{align} + I = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(x_1)F_2(\frac{1}{a}x_1)dx_1\\ + I = \int_{-\infty}^{\infty} f_2(x_2)(1 - F_1(ax_2))dx_2 +\end{align} +Siehe auch L\"osungssammlung Aufgabe $98$ ff. + +\subsubsection{Beispiel} +Die Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ seien uniform verteilt auf +$[0, 2]$. Berechnen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $(X_1X_2 \leq \frac{1}{2})$. + +\begin{align} + M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x_1,x_2 \leq 2\}\\ + f(x_1,x_2) = + \begin{cases} + f(x_1)*f(x_2) = \frac{1}{4} & \text{f\"ur } (x_1,x_2) \in M \\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases} +\end{align} +Borelsche Menge: +\begin{align} + B = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 | x_1*x_2 \leq \frac{1}{2}\ = x_2 \leq \frac{1}{2 x_1}\} \\ + P(x_1x_2 \leq \frac{1}{2}) = \int_B f(x_1, x_2) d(x_1, x_2) = \int 1_B*1_M*\frac{1}{4} + d(x_1,x_2)\\ + \int 1_{B \cap M} * \frac{1}{4} d(x_1,x_2) +\end{align} +Schnittmenge aus $B$ und $M$: +\begin{center} + \includegraphics[scale=0.3]{graph.png} +\end{center} +\begin{align} + B \cap M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\ | (0 \leq x_1 \leq \frac{1}{4} \wedge 0 \leq x_2 \leq + 2) \vee (\frac{1}{4} \leq x_1 \leq 2 \wedge 0 \leq x_2 \leq \frac{1}{2x_1})\}\\ + \longrightarrow + P(x_1x_2 \leq \frac{1}{2}) = \int^{\frac{1}{4}}_{0} \int^2_0 \frac{1}{4} dx_1dx_2 + + \int^2_{\frac{1}{4}} \int^{\frac{1}{2x_1}}_0 \frac{1}{4} dx_2 dx_1 +\end{align} +\subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen} +Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf +einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ existiert, +ist +\begin{align} + \varepsilon_P X = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)P\{\omega\} +\end{align} + +\section{Marginaldichte - Beispielrechnung} +\[ + f(x_1,x_2)= + \begin{cases} + ce^{-(2x_1+3x_2)} & x_1 > 0 \: und \: 0 < x_2 =stealth',semithick}, + post/.style={->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick}, + mid/.style={-,shorten >=1pt,>=stealth',semithick}, + place/.style={circle,draw=red!50,fill=red!20,thick}] + + \node[place] (A) at ( 0,0)[label=above:Before] {$(\Omega, A, P) $}; + \node[place] (B) at ( 2,0) {$(R^n, B_n, P^X)$} + edge [pre] node [auto] {X} (A); + \node[place, align=center] (C) at ( 2,-3) {$(R^m, B_m, P^G$} + edge [pre] node [auto] {$Y = G \circ X$} (A) + edge [pre] node [auto] {$G$} (B); + \end{tikzpicture} +\end{center} +\vspace*{7pt} +\textbf{Gegeben:} Man hat stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n$ gegeben mit +Art der Verteilung. + +\textbf{Gesucht:} Verteilung von Zufallsvariable $Y$, die sich aus $X_i$ berechnen lässt. + +\textbf{Beispiel:}\\ +Welche Verteilung besitzt +\begin{align} + Y = \frac{X_1}{X_1 + X_2} +\end{align} +falls $X_1$ und $X_2$ exponentiell verteilt mit Paramter $\lambda$ und stochastisch +unabhängig sind. + +\begin{enumerate} + \item Wegen Unabhängigkeit der Variablen $X_1$ und $X_2$ besitzt $P^X$ + die Dichte $f(x_1,x_2) = f_1(x_1)f_2(x_2)$. + \item $M = {(x_1, x_2); x_1 > 0 \text{ und } x_2 > 0}$\\ + $\longrightarrow$ Wertebereich von $x_n$ anhand von Verteilung ermitteln. + \item Gleichungen $G(x)$ definieren: + \begin{align} + y_1 &= \frac{x_1}{x_1 + x_2}\\ + y_2 &= x_2 + \end{align} + \item Funktionaldeterminante ($J_{G}(x)$) der Abbildung $G$ berechnen + \begin{align} + J_{G}(x) = + \text{det} \begin{pmatrix} + \frac{\partial G_1}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_1}{\partial x_n} (x) \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + \frac{\partial G_n}{\partial x_1} (x) & \cdots & \frac{\partial G_n}{\partial x_n} (x) \\ + \end{pmatrix}\\ + J_{G}(x_1,x_2) = + \text{det} \begin{pmatrix} + \frac{x_2}{(x_1 + x_2)^2} & * \\ + 0 & 1 \\ + \end{pmatrix} = \frac{x_2}{(x_1 + x_2)^2} + \end{align} + \item Umkehrabbildung $G^*$ berechnen. Alle Zufallsvariablen werden + werden mittels Funktionen verändert: z.B: $y_1 = x_1/x_2$. + Jede i-te Funktion nach $x_i$ auflösen. + \begin{align} + x1 = \frac{y_1y_2}{1 - y_1}\\ + x_2 = y_2 + \end{align} + \item Gesuchte Funktion: $g(y) = f(G^*(y))\frac{1}{|J_G(G^*(y))|}$\\ + $\longrightarrow$ Setze für alle $x_i$ dementsprechend $y_i$ ein und multipliziere + mit Kehrwehrt von Funktionaldeterminante. + \begin{align} + g(y_1,y_2) = \lambda^2e^{-\frac{\lambda}{1 - y_1}}\frac{y_2}{(1-y_1)^2} + \end{align} + \item Mit Marginaldichte $g_1(y_1)$ berechnen:\\ + \begin{align} + g_1(y_1) = \frac{\lambda}{1 - y_1} \int^\infty_0 y_2\frac{\lambda}{1 - y_1} + e^{-\frac{\lambda}{1 - y_1}} dy_2\\ + = \frac{\lambda}{1 - y_1} m_1 (\varepsilon(\frac{\lambda}{1 - y_1}))\\ + = 1 + \end{align} + $\longrightarrow$ Da Mittelwert der $\varepsilon$-Verteilung gerade Kehrwert des + Paramters ist. + \item Folgerung: Dichte $g_1$ ist also die der Uniform-Verteilung ($U(0,1)$). +\end{enumerate} + +\end{document} diff --git a/MatheC4/Makefile b/MatheC4/Makefile new file mode 100644 index 0000000..b0a4b0f --- /dev/null +++ b/MatheC4/Makefile @@ -0,0 +1,22 @@ +PDF = MaC4Cheatsheet + +all: $(PDF) + +continuous: $(PDF).continuous + +%.continuous: %.pdf + latexmk -jobname=$(@:%.continuous=%) -pvc -pdf $(@:%.continuous=%).tex + +$(PDF): $(PDF).pdf + +%.pdf: %.tex + latexmk -jobname=$(@:%.pdf=%) -pdf $< + +clean: + latexmk -c -f $(PDF).tex + +distclean: + latexmk -C -f $(PDF).tex + rm -f $(PDF).pdf + +.PHONY: all clean distclean $(PDF) continuous