Markov Kette Algorithmus

Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex

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 \documentclass{article}
+% -------- Mathe Libraries ---------------
 \usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
 % -------- Umlaute korrekt ----------------
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[ngerman, english]{babel}
@@ -356,7 +358,24 @@ unabhängig sind.
 		\end{align}
 		$\longrightarrow$ Da Mittelwert der $\varepsilon$-Verteilung gerade Kehrwert des
 		Paramters ist.
-	\item Folgerung: Dichte $g_1$ ist also die der Uniform-Verteilung ($U(0,1)$).
+	\item Folgerung: Dichte $g_1$ ist also die der Uniform-Verteilung ($\mathcal{U}(0,1)$).
 \end{enumerate}
 
+\section{Markov-Ketten}
+\begin{itemize}
+	\item Bei Übergangsmatrix $P \in (\mathbb{R}_{\geq 0})^{r x r}$ sind
+		alle Zeilensummen gleich $1$.
+	\item Vektor $\vec{u} \in (\mathbb{R}_{\geq 0})^{r}$ mit $||\vec{u}||_1 = 1$
+		der
+		\begin{align}
+			\vec{u} = P^T \cdot \vec{u}
+		\end{align}
+		erfüllt, heißt \textbf{Gleichgewichtszustand/-verteilung}.
+	\item Berechnung von $\vec{u}$: $\text{Kern}(P^T - \text{ Id}_r)$.\\$\rightarrow$
+		Kern wird berechnet durch klassischen Gauß- Algorithmus. Wenn keine
+		eindeutige Lsg (z.B. $0 = 0$), dann Variable beliebig wählen. Es gibt
+		immer einen Kern, da Determinante stets $0$ ist durch obige Summenbedinung.
+	\item Vektoreinträge müssen positiv sein, sonst Fehler.
+	\item Vektor auf Größe $1$ skalieren
+\end{itemize}
 \end{document}