diff --git a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex index 9abb6d8..01b9ed5 100644 --- a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex +++ b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -183,7 +183,20 @@ bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[ \[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\] und logischerweise: \[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \] -\subsection{Momenterzeugende Funktion} +\subsection{Absoluten Momente diskreter Verteilungen} +Ist fuer $k \in \{1,2,3,\ldots\}$ die Summe $\sum_{x \in X} |x|^kf(x) < \infty$, +so heisst +\begin{align} + m_k = m_k(P) = \sum_{x \in X} x^kf(x) +\end{align} +das \textbf{k-te absolute Moment} der Verteilung P. + +\subsubsection{Mittelwert, Varrianz} +\begin{itemize} + \item Mittelwert: $m_1 = m_1(P) = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$ + \item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$ +\end{itemize} +\subsubsection{Momenterzeugende Funktion} \[ M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n) \] @@ -191,14 +204,36 @@ und logischerweise: - 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ \subsection{Erzeugende Funktion} \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen} -\subsubsection{Mittelwert} -\subsubsection{Varianz} -TODO -\subsection{Mittelwert, Varrianz} -\begin{itemize} - \item Mittelwert: $m_1 = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$ - \item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$ -\end{itemize} +\textbf{Gegegeben:} Eine erzeugende Funktion $\hat{f}(z)$ gegeben. +\begin{align} + \hat{f}(z) = \sum^{\infty}_{k=0} f(k)z^k +\end{align} +\textbf{Gesucht:} Die Funktion $f(k)$ + +Moeglichkeit 1: Taylorentwicklung +\begin{align} + \hat{f}(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\hat{f}^{(k)}(0)z^k\\ + \Rightarrow f(k) = \frac{1}{k!} \hat{f}^{k}(0) +\end{align} + +Moeglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zurueckfuehren (z.B. geometrische +Reihe) +\subsubsection{Mittelwert $m_1$} +\begin{align} + M(t) = \hat{f}(e^t)\\ + m_1 = M'(t)|_{t=0} = \hat{f}'(e^t)e^t|_{t=0} = \hat{f}'(1) +\end{align} +\subsubsection{Varianz $\hat{m}_2$} +\begin{enumerate} + \item Zuerst \textbf{zweites Moment} berechnen: + \begin{align} + m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1)\\ + \end{align} + \item Dann \textbf{Varianz}: + \begin{align} + \hat{m}_2 = m_2 - m_1^2 + \end{align} +\end{enumerate} \section{Verteilungen} \subsection{Allgemein} \subsubsection{Eigenschaften}