From 8057f1af390592fe22b21cf31d537bc8244a1103 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Christian Bay Date: Fri, 2 Oct 2015 17:38:01 +0200 Subject: [PATCH] Beispiel Zufallsvariablen --- Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex | 27 +++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 27 insertions(+) diff --git a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex index 4e33e71..9826de4 100644 --- a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex +++ b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -413,6 +413,33 @@ $x_1$ und $x_2$ durchgef\"uhrt werden, ergeben sich zwei Darstellungen: \end{align} Siehe auch L\"osungssammlung Aufgabe $98$ ff. +\subsubsection{Beispiel} +Die Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ seien uniform verteilt auf +$[0, 2]$. Berechnen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $(X_1X_2 \leq \frac{1}{2})$. + +\begin{align} + M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x_1,x_2 \leq 2\}\\ + f(x_1,x_2) = + \begin{cases} + f(x_1)*f(x_2) = \frac{1}{4} & \text{f\"ur } (x_1,x_2) \in M \\ + 0 & \text{sonst} + \end{cases} +\end{align} +Borelsche Menge: +\begin{align} + B = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 | x_1*x_2 \leq \frac{1}{2}\ = x_2 \leq \frac{1}{2 x_1}\} \\ + P(x_1x_2 \leq \frac{1}{2}) = \int_B f(x_1, x_2) d(x_1, x_2) = \int 1_B*1_M*\frac{1}{4} + d(x_1,x_2)\\ + \int 1_{B \cap M} * \frac{1}{4} d(x_1,x_2) +\end{align} +Schnittmenge aus $B$ und $M$: +\begin{align} + B \cap M = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\ | (0 \leq x_1 \leq \frac{1}{4} \wedge 0 \leq x_2 \leq + 2) \vee (\frac{1}{4} \leq x_1 \leq 2 \wedge 0 \leq x_2 \leq \frac{1}{2x_1})\}\\ + \longrightarrow + P(x_1x_2 \leq \frac{1}{2}) = \int^{\frac{1}{4}}_{0} \int^2_0 \frac{1}{4} dx_1dx_2 + + \int^2_{\frac{1}{4}} \int^{\frac{1}{2x_1}}_0 \frac{1}{4} dx_2 dx_1 +\end{align} \subsection{Erwartungswert $\varepsilon$ diskreter Zufallsvariablen} Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $X$ auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ existiert,