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64
Vorlesungen/ThProg/PumpingLemma.tex Normal file
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\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ amssymb } % >= as \geq
\usepackage{nccmath}
\usepackage{upgreek}
%New Commands
\newcommand{\xhspace}[0]{\noindent\hspace*{5mm}}
\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10}
\setlength{\parindent}{0pt}
\title{Pumping Lemma f\"ur Regul\"are Sprachen}
\date{ }
\begin{document}
\section*{Pumping Lemma f\"ur Regul\"are Sprachen}
%\maketitle
%----------------------------------%
Konkret geht es in diesem Beispiel um eine Sprache die alle ge\"offneten Klammern auch wieder schlie$\upbeta$en soll, oder allgemeiner, um eine Sprache die sich eine Anzahl merken muss.\\\\
\textbf{'L' ist regul\"ar wenn:}
\[
\forall l \geq 1\;.\, \exists w \in L\;mit\; |w|\geq l
\]
\textbf{sodass:}\\
\xhspace $\forall$ uvz \\
\textbf{mit:}\\
\xhspace w=uvz\\
\xhspace $|$v$|$ $\geq$ 1\\
\xhspace $|$uv$|$ $\leq$ l\\
\textbf{gilt:}\\
\xhspace u$v^{k}$z $\notin$ L \\ \\
\textbf{Beweis, dass 'L' \underline{NICHT} regul\"ar ist}\\\\
Sei l $\geq$ 1 gegeben, w\"ahle:
\[
w\;=
\underbrace{(\,(\,(\,...\,(}_{l+k\;mal}
\hspace{10mm}
\;a
\hspace{1cm}
\underbrace{,\,b\,)\,,b)\,...\,)}_{l+k\;mal}
\hspace{10mm}
\in L
\]
k als feste Zahl w\"ahlen, z.B. 10:
\[
w\;=
\underbrace{(\,(\,(\,...\,(}_{l+10\;mal}
\hspace{10mm}
\;a
\hspace{1cm}
\underbrace{,\,b\,)\,,b)\,...\,)}_{l+10\;mal}
\hspace{10mm}
\in L
\]
\textbf{dann gilt:}\\\\
\noindent \hspace*{1cm}$\forall$ uvz \hspace{5mm}\textbf{mit}\hspace{5mm}w = uvz
\\\\
\noindent \hspace*{1cm}u = $(^k$ \\ \\
\noindent \hspace*{1cm}v = $(^m$\\ \\
\noindent \hspace*{1cm}z = $(^{[l+10-k-m]}$
\hspace{3mm}a\hspace{3mm},b\,)\,,\,b\,)\,...\,,\,b\,)\\\\
\textbf{dann w\"ahlenn wir:}\\\\
\noindent \hspace*{1cm} w' = u$v^0$z = uz $\notin$ L\\\\
Denn es gehen [k+l+10-k-m = 10+l+m] Klammern auf und nur [l+10] Klammern zu.
Da m$\geq$ ist [10+l+m $>$ 10+l].
D.h. w' ist nicht in 'L' und 'L' damit nicht regul\"ar.
\end{document}