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Formel von Bayes erlaeutert

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Christian Bay 2015-10-01 13:39:56 +02:00
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Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex
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@ -145,12 +145,30 @@ Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode.
\subsection{Beispiele}
\subsubsection{Krankheitstest}
0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\
Ereignis $A_1$: Person ist krank\\
Ereignis $A_2$: Person ist gesund\\
Ereignis $B$: Test identifiziert Person als krank.\\
\textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\
\[
P(K | K_{ident} ) = \frac{P(K_{ident}|K)*P(K)}
{P(K_{ident}|K)*P(K)+P(K_{ident}|K)*P(\neg K)} =
P(A_1 | B ) = \frac{P(B|A_1)*P(A_1)}
{P(B|A_1)*P(A_1)+P(B| A_2)*P(A_2)} =
\frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\%
\]
\vspace*{10pt}
Loesung mittels \textbf{Formel von Bayes}:
\begin{align}
P(B_k/A) = \frac{P(A|B_k) * P(B_k)}{\sum_{j \in J} P(A|B_j) * P(B_j)}
\end{align}
Dieser Vorgang wird auch \textbf{Rueckwaertsinduktion} genannt. Angenommen man
kennt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis unter einer gewissen Bedingung (hier Test
schlaegt zu $x\%$ an unter Bedingung Person ist krank $P(B|A_1)$ oder Person ist gesund
$P(B|A_2)$), dann kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit
mit dieser Formel berechnen. Hier: Wie wahrscheinlich ist es, dass Person krank ist, unter
Bedingung, dass Test das gemeldet hat $P(A_1|B)$.
\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen}
\[
P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}}