From 40390f1d9b2290c936a4ac98086396d56dbf95ea Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Christian Bay Date: Fri, 2 Oct 2015 19:02:42 +0200 Subject: [PATCH] Kovarianz Beispiel ausfuehrlich --- Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex | 101 ++++++++++++++++++++++++++--------- 1 file changed, 76 insertions(+), 25 deletions(-) diff --git a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex index 538ce5f..a555013 100644 --- a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex +++ b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -125,6 +125,57 @@ Standartwerte f\"ur Konfidenz: \mu \in [\bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}] \end{align} +\subsection{Kovarianz} +Sind zwei Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ stochastisch unabh\"angig dann +gilt: + +\begin{align} + cov(X_1,X_2) = 0 +\end{align} + +Ansonsten: +\begin{align} + cov(X_1,X_2) = E(X_1X_2) - E(X_1)E(X_2) +\end{align} +\textbf{Erwartungswert}: +\begin{align} + EX = \sum_{k \in \Omega} k * P(X = k) = \int_{-\infty}^{\infty} x * f(x) dx +\end{align} +\textbf{Beispiel}: +Berechnen der Kovarianz der Zufallsvariablen $Z_1 = X_1 - X_2$ und $Z_2 = X_1$, +wenn der Zufallsvektor $(X_1,X_2)$ auf der Menge +\begin{align} + M = \{(x_1,x_2)| 0 \leq x_2 \leq 2 \text{ und } 0 \leq x_1 \leq x_2\} +\end{align} +\textbf{Gesucht}: $cov(Z_1, Z_2)$ +\begin{enumerate} + \item Kovavarianz umformen + \begin{align} + cov(Z_1, Z_2) = cov(X_1-X_2, X_1) = (E(X^2_1)-E(X_1)^2)-(E(X_2X_1)-E(X_2)E(X_1)) + \end{align} + \item Die \textbf{Fl\"ache} $A_M$ unter Funktion berechnen: $A_M = 2$.\\ + \item Die \textbf{Dichtefunktion} ist der Kehrwert von $A_M$ und damit $\frac{1}{2}$. + \begin{align} + f(x_1,x_2) = + \begin{cases} + \frac{1}{2} & x_1,x_2 \in M \\ + 0 & sonst + \end{cases} + \end{align} + \item Jetzt wieder mittels \textbf{Marginalsdichte} $f(x_1)$ und $f(x_2)$ bestimmen. + \begin{align} + f_1(x_1) = \int_{x_1}^2 f(x_1,x_2) dx_2\\ + f_2(x_2) = \int_{0}^{x_2} f(x_1,x_2) dx_1 + \end{align} + \item Berechnung der ben\"otigten Erwartungswerte $E$: + \begin{align} + E(X_i) = \int_{0}^{2} x_i * f_i(x_i) dx\\ + E(X_i^2) = \int_{0}^{2} x_i^2 * f_i(x_i) dx\\ + E(X_1X_2) = \underbrace{\int_0^{2}\int_{0}^{x_2}}_{\text{Integration \"uber $x_1$ und + $x_2$}} x_1*x_2*f(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \end{align} + \item Einsetzen in umgeformte Kovarianzformel (siehe 1) +\end{enumerate} \section{Mengen} \subsection{o-Algebra} - leere Menge enthalten\\ @@ -178,18 +229,18 @@ $\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl M\"oglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei W\"ur \end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n} \] \subsubsection{X-Mal Werfen, min eine 3 unter der Bedingung min. eine 6} - A = min. eine 3 \\ - B = min. eine 6 \\\\ - \textbf{gesucht:} \[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \] - \[P(B) = 1-P(keine\;6) = 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}\] - \textbf{Idee:} - \begin{align*} - P(A\cap B) &= 1-P(\neg (A\cap B))\\ - &= 1-P(\neg A \cup \neg B)\\ - &= 1-P(\neg A) - P(\neg B) + P(\neg A \cap \neg B)\\ - &= 1-P(keine\;3)-P(keine\;6)+P(weder\;3\;noch\;6)\\ - &= 1-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{4}{6}\right)^4 = 1- \frac{994}{1296} - \end{align*} +A = min. eine 3 \\ +B = min. eine 6 \\\\ +\textbf{gesucht:} \[P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \] +\[P(B) = 1-P(keine\;6) = 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}\] +\textbf{Idee:} +\begin{align*} + P(A\cap B) &= 1-P(\neg (A\cap B))\\ + &= 1-P(\neg A \cup \neg B)\\ + &= 1-P(\neg A) - P(\neg B) + P(\neg A \cap \neg B)\\ + &= 1-P(keine\;3)-P(keine\;6)+P(weder\;3\;noch\;6)\\ + &= 1-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{5}{6}\right)^4-\left( \frac{4}{6}\right)^4 = 1- \frac{994}{1296} +\end{align*} ...und das dann nur noch oben einsetzen und fertig. \subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten} @@ -292,13 +343,13 @@ Reihe) \subsubsection{Varianz $\hat{m}_2$} \begin{enumerate} \item Z\"urst \textbf{zweites Moment} berechnen: - \begin{align} - m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1)\\ - \end{align} - \item Dann \textbf{Varianz}: - \begin{align} - \hat{m}_2 = m_2 - m_1^2 - \end{align} + \begin{align} + m_2 = \hat{f}''(1) + \hat{f}'(1)\\ + \end{align} + \item Dann \textbf{Varianz}: + \begin{align} + \hat{m}_2 = m_2 - m_1^2 + \end{align} \end{enumerate} \section{Verteilungen} \subsection{Allgemein} @@ -460,10 +511,10 @@ Marginaldichte: \[ \begin{split} f_1(x_1) & = \overbrace{\int_{0}^{x_1}}^{\text{Grenzen von }x_2} f(x_1,x_2) dx_2 \\ - & = \int_{0}^{x_1} ce^{-2x_1}e^{-3x_2} \: dx_2 \\ - & = \underbrace{c*e^{-2x_1}}_{\text{Konstante, da Integration nach} \: x_2} - \overbrace{\int_{0}^{x_1} e^{-3x_2} \: dx_2}^{mit \: 0 \: und \: x_1 \: einsetzen \: integrieren} \\ - & = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} ) + & = \int_{0}^{x_1} ce^{-2x_1}e^{-3x_2} \: dx_2 \\ + & = \underbrace{c*e^{-2x_1}}_{\text{Konstante, da Integration nach} \: x_2} + \overbrace{\int_{0}^{x_1} e^{-3x_2} \: dx_2}^{mit \: 0 \: und \: x_1 \: einsetzen \: integrieren} \\ + & = ce^{-2x_1}\, \frac{1}{3} (1-e^{-3x_2} ) \end{split} \] Gegebenenfalls konnen wir das gleiche auch mit $dx_2$ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist. @@ -568,8 +619,8 @@ unabhängig sind. \item \textbf{Berechnung} von $\vec{u}$: $\text{Kern}(P^T - \text{ Id}_r)$.\\$\rightarrow$ Kern wird berechnet durch klassischen Gauß- Algorithmus. Wenn keine eindeutige Lsg (z.B. $0 = 0$), dann Variable beliebig wählen. Es gibt - immer einen Kern, da Determinante $0$ garantiert ist durch obige\\ - Summenbedingung. + immer einen Kern, da Determinante $0$ garantiert ist durch obige\\ + Summenbedingung. \item Vektoreinträge müssen positiv sein, sonst Fehler. \item Vektor $\vec{u}$ durch $||\vec{u}||_1$ (Summennorm) teilen. \begin{align}