From 13ca616b163a3678be56ce923ff6beac985532aa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Christian Bay Date: Thu, 1 Oct 2015 12:06:44 +0200 Subject: [PATCH] Inlining mal gut gemacht --- Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex | 488 +++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 244 insertions(+), 244 deletions(-) diff --git a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex index dcabc43..1af1fd3 100644 --- a/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex +++ b/Public/m4/MaC4Cheatsheet.tex @@ -1,259 +1,259 @@ - \documentclass{article} - \usepackage{amsmath} - % -------- Umlaute korrekt ---------------- - \usepackage[utf8]{inputenc} - \usepackage[ngerman, english]{babel} - %------------------------------------------- +\documentclass{article} +\usepackage{amsmath} +% -------- Umlaute korrekt ---------------- +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[ngerman, english]{babel} +%------------------------------------------- - % TikZ Library - \usepackage{tikz} - \usetikzlibrary{arrows,backgrounds,positioning,fit,calc,petri} - \usetikzlibrary{shapes, shapes.misc} - \usetikzlibrary{decorations.markings,decorations.pathmorphing} - % ----------------------------------------- - % Einrueckung unterbinden nach Absatz - \setlength{\parindent}{0pt} +% TikZ Library +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{arrows,backgrounds,positioning,fit,calc,petri} +\usetikzlibrary{shapes, shapes.misc} +\usetikzlibrary{decorations.markings,decorations.pathmorphing} +% ----------------------------------------- +% Einrueckung unterbinden nach Absatz +\setlength{\parindent}{0pt} - \DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10} - \title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet} - \author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015} - \date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!} - \begin{document} - \maketitle - \section{Statistik} - \subsection{empirisches arithmetisches Mittel} - \[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\] - \subsection{empirischer Median (Zentralwert)} - \[ +\DeclareMathSizes{10}{10}{10}{10} +\title{Mathe C4 Merz - Cheatsheet} +\author{Yannik Schmidt (Sheppy)\\September 2015} +\date{Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!} +\begin{document} +\maketitle +\section{Statistik} +\subsection{empirisches arithmetisches Mittel} +\[x_{arith}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\] +\subsection{empirischer Median (Zentralwert)} +\[ x_{median}= - \begin{cases} - \frac{x_{n+1}}{2} & \text{n ungerade} \\ - \frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade} - \end{cases} - \] - Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht. - \subsection{empirische Varianz} - \[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\] - \subsection{Gleichgewichtsverteilung} - \[ + \begin{cases} + \frac{x_{n+1}}{2} & \text{n ungerade} \\ + \frac{x_{n/2} \;\; + x_{(n+1)/2}}{2} & \text{n gerade} + \end{cases} +\] +Wobei der Index fuer die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{A,B,C,...\} steht. +\subsection{empirische Varianz} +\[x_{var}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-x_{median})\] +\subsection{Gleichgewichtsverteilung} +\[ G_{var} = - \begin{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ . \\ . \\ 1 - \end{pmatrix} - *\left [ + \end{pmatrix} + *\left [ \begin{pmatrix} - 1&.&.& 0 \\ - . & 1 &.& . \\ - . & . &1& . \\ - 0&.&.&1 - + 1&.&.& 0 \\ + . & 1 &.& . \\ + . & . &1& . \\ + 0&.&.&1 + \end{pmatrix}-P+ \begin{pmatrix} - 1&.&.&1 \\ - .&.&.&. \\ - .&.&.&. \\ - 1&.&.&1 - \end{pmatrix}\right ] - ^{-1} - \] - Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert. - \section{Mengen} - \subsection{o-Algebra} - - leere Menge enthalten\\ - - alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\ - - alle Komplemente enthalten\\ \\ - \textbf{Beispiel:}\\ - Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\ - NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\ - o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\}, - \underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}}, - \underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}}, - \underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}}, - \{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$ - - \section{Wahrscheinlichkeiten} - \subsection{Wuerfeln} - \subsubsection{keine 6} - \[ - p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe} - \] - \subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)} - \[ - p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0 - \] - \[ - p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0 - \] - \[ - p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i - \] - \subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln} - $Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\ - dann wieder ueber Gegenereignis: \\ - \[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \] - \subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen} - \[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\ - - $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\ - - es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\ - - es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten - \subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen} - \[ p= \frac{\begin{pmatrix} + 1&.&.&1 \\ + .&.&.&. \\ + .&.&.&. \\ + 1&.&.&1 + \end{pmatrix}\right ] + ^{-1} +\] +Wobei P die Uebergangsmatrix ist. Die Alternative ist die Matrix solang zu potentieren bis sie konvergiert. +\section{Mengen} +\subsection{o-Algebra} +- leere Menge enthalten\\ +- alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf{NICHT} \{x,y\} und \{y,z\} zu \{x,y,z\} machen\\ +- alle Komplemente enthalten\\ \\ +\textbf{Beispiel:}\\ +Grundmenge = $\{1,2,3,4\}$\\ +NICHT o-Algebra Menge = $\{\{1,2\},\{3\}\}$\\ +o-Algebra Menge = $\{\emptyset ,\{1,2\},\{3\}, + \underbrace{\{1,2,3\}}_{\substack{\{1,2\}\{3\}}}, + \underbrace{\{3,4\}}_{\substack{\neg \{1,2\}}}, + \underbrace{\{4\}}_{\substack{\neg \{1,2,3\}}}, +\{1,2,3,4\},\{1,2,4\}\}$ + +\section{Wahrscheinlichkeiten} +\subsection{Wuerfeln} +\subsubsection{keine 6} +\[ + p_0 = \left( \frac{5}{6} \right)^n , n = \text{Anzahl der Wuerfe} +\] +\subsubsection{mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)} +\[ + p_1 = 1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n = 1 - p_0 +\] +\[ + p_2 = 1-\left(1 - \left( \frac{5}{6} \right)^n\right)-\left( \frac{5}{6} \right)^n = 1-p_1 -p_0 +\] +\[ + p_x = 1 - \sum_{i=0}^{x-1} p_i +\] +\subsubsection{6er-Pasch bei 2 Wuerfeln} +$Ereignisraum = 6^2 , \text{Anzahl guenstiger Ereignisse = 1 , naehmlich (6,6)}$\\ +dann wieder ueber Gegenereignis: \\ +\[ p=1-\left(\frac{35}{36}\right)^n \] +\subsubsection{genau eine 6 bei n-Wuerfeln/Wuerfen} +\[ p= \frac{n*5^{(n-1)}}{6^n}\]\\ +- $6^n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtmoeglichkeiten \\ +- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\ +- es bleiben bei den verbleibenden n-1 Wuerfen 5 Moeglichkeiten +\subsubsection{genau x-6er bei n-Wuerfeln/Wuerfen} +\[ p= \frac{\begin{pmatrix} + x\\n +\end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\ +\[\begin{pmatrix} x\\n - \end{pmatrix}5^{(n-x)}}{6^n}\]\\ - \[\begin{pmatrix} - x\\n - \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!} - \]\\ - $\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[ - p= \frac{\begin{pmatrix} - x\\n - \end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n} - \] - \subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten} - z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit - $(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum - (Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\ - also:\\ - \begin{equation} - 6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation} - \begin{equation} - \frac{1}{4}w_1 = w_2 - \end{equation}\\ - Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode. - - \section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten} - \subsection{Beispiele} - \subsubsection{Krankheitstest} - 0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\ - \textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\ - \[ - P(K | K_{ident} ) = \frac{P(K_{ident}|K)*P(K)} - {P(K_{ident}|K)*P(K)+P(K_{ident}|K)*P(\neg K)} = - \frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\% - \] - \subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen} - \[ - P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}} - \]\\ - \[ - p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!} - \] - bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[ - p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5 - \] - - \section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen} - \subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen} - \[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\] - und logischerweise: - \[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \] - \subsection{Momenterzeugende Funktion} - \[ - M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n) - \] - - f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\ - - 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ - \subsection{Erzeugende Funktion} - \subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen} - \subsubsection{Mitterlwert} - \subsubsection{Varianz} - TODO - \subsection{Mittelwert, Varrianz} - \begin{itemize} - \item Mittelwert: $m_1 = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$ - \item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$ - \end{itemize} - \section{Verteilungen} - \subsection{Allgemein} - \subsubsection{Eigenschaften} - \begin{itemize} - \item stetig - \item monoton steigend - \item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$ - \item Dichte $g(t) = G'(t)$ - \item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$ - \end{itemize} - \subsection{Binominalverteilung} - \subsubsection{Allgemein} - \[ - \mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) = - \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline - \text{mit k = 0,1,2,...,n} \] - - wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B. - wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2" - \\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis - \\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen - - \subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten} - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler - sind? - \[ - 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|p,n) \enspace mit \enspace \] \\ - k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500 - (wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass - ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\ - \begin{equation*} - \begin{split} - 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500)& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2| - 1/500,500) \\ - & = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2| - 1/500,500) \\ - & = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08 - \end{split} - \end{equation*} - \subsection{Possion-Verteilung} - \subsubsection{Allgemein} - Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen - Bereich (Modell) stattfinden! - \[ - P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda} - \] + \end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n-k)!} +\]\\ +$\textbf{oder noch allgemeiner, mit Anzahl Moeglichkeiten 'z' (z.B. 6 bei Wuerfel):}$\[ + p= \frac{\begin{pmatrix} + x\\n + \end{pmatrix}(z-1)^{(n-x)}}{z^n} +\] +\subsubsection{Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten} +z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $(w_1)$, 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit +$(w_2)$, wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum +(Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \]\\ +also:\\ +\begin{equation} +6w_1 + 8w_2 = 1 \end{equation} +\begin{equation} + \frac{1}{4}w_1 = w_2 +\end{equation}\\ +Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode. + +\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten} +\subsection{Beispiele} +\subsubsection{Krankheitstest} +0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\ +\textbf{Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?}\\ +\[ + P(K | K_{ident} ) = \frac{P(K_{ident}|K)*P(K)} + {P(K_{ident}|K)*P(K)+P(K_{ident}|K)*P(\neg K)} = + \frac{0,95*0,002}{0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\% +\] +\subsubsection{min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen} +\[ + P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen UND min. eine 6}}{\text{Moeglichkeiten verschiedene Augenzahlen}} +\]\\ +\[ + p=\frac{n*(6-1)!-(6-n)!}{6!-n!} +\] +bei 3 Wuerfeln also z.B.:\[ + p=\frac{3*5!-3!}{6!-3!} = \frac{3*5*4}{6*5*4} = 0,5 +\] + +\section{Wahrscheinlichkeitsfunktionen} +\subsection{Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen} +\[ \sum_{w \in \Omega} f(w) = 1 \text{ (die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1)}\] +und logischerweise: +\[ \forall w\in\Omega . f(w)>=0 \text{ (keine negativen Wahrscheinlichkeiten)} \] +\subsection{Momenterzeugende Funktion} +\[ + M(t)=\sum_{n\in\Omega}^{\infty}(e^t)^n * f(n) +\] +- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\ +- 'n' koennte z.B. definiert sein als $n=\{1,2,3,...\}$ +\subsection{Erzeugende Funktion} +\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen} +\subsubsection{Mitterlwert} +\subsubsection{Varianz} +TODO +\subsection{Mittelwert, Varrianz} +\begin{itemize} + \item Mittelwert: $m_1 = \sum_{n=0}^\infty n*f(n)$ + \item Varianz: $\widehat{m}_2 = m_2 - m_1^2$ +\end{itemize} +\section{Verteilungen} +\subsection{Allgemein} +\subsubsection{Eigenschaften} +\begin{itemize} + \item stetig + \item monoton steigend + \item $\lim_{t \to \infty} G(t) = 1, \quad \lim_{t \to -\infty} G(t) = 0$ + \item Dichte $g(t) = G'(t)$ + \item $m_1 = \int_{-\infty}^{\infty}t*g(t)dt$ +\end{itemize} +\subsection{Binominalverteilung} +\subsubsection{Allgemein} +\[ + \mathcal{B}(k | p,n) \enspace \textbf{ oder auch } \enspace B(k;p,n) = +\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k(1-p)^{n-k} \enspace \newline +\text{mit k = 0,1,2,...,n} \] +- wobei diese Funktion die \textbf{kommulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B. +wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2" +\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit fuer ein positives Ereigbnis +\\ - n ist Anzaehl wie oft wir ziehen + +\subsubsection{Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten} +Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler +sind? +\[ +1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|p,n) \enspace mit \enspace \] \\ +k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500 +(wir ziehen Fehler "ohne zuruecklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass +ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\ +\begin{equation*} + \begin{split} + 1- \sum_{k=0}^{2} \mathcal{B}(k|1/500,500)& = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2| + 1/500,500) \\ + & = 1 - \mathcal{B}(0|1/500,500) - \mathcal{B}(1|1/500,500) - \mathcal{B}(2| + 1/500,500) \\ + & = 1 - \left( \frac{499}{500} \right) ^{500} - 500\frac{1}{500}\left(\frac{499}{500}\right)^{499} - \frac{500*499}{1*2}\left( \frac{1}{500} \right) ^2 \left( \frac{499}{500} \right) ^{498} \\ & = 0,08 + \end{split} +\end{equation*} +\subsection{Possion-Verteilung} +\subsubsection{Allgemein} +Ereignisse muessen mit konstanter Rate, unabhaengig voneinander und in einem festen +Bereich (Modell) stattfinden! +\[ + P_{\lambda}(n) = \frac{\lambda ^n}{n!} e ^{- \lambda} +\] \subsection{N(0,1)-Verteilung} - $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$ +$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-0.5x^2}$ \subsection{Normal-Verteilung} - $f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x- - \mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$ +$f(x) = N(\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}*e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x- +\mu)^2} \quad \quad m_1 = \mu \quad \quad \widehat{m}_2=\sigma^2$ \subsection{Exponentiallverteilung} - $f(\lambda) = \lambda*e^{-\lambda t}$ +$f(\lambda) = \lambda*e^{-\lambda t}$ \subsection{Laplace-Verteilung} - Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\ - $f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$ +Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\ +$f(w) = L(\Omega) = \frac{1}{|\Omega|}$ \subsection{Hypergeometrische Verteilung} - Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\ - $f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ +Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\ +$f(k) = H(N, K, n) = \frac{\binom{K}{k}*\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ \subsection{Geometrische Verteilung} - Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines - Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\ - $G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ +Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines +Ereignisses unter der Annahme der Gedaechtnislosigkeit. \\ +$G(p) = f(n) = p*q^{n-1} \quad \quad m_1 = \frac{1}{p}$ \section{Zufallsvarriablen} \subsection{Verteilungen von Zufallsvariablen} - Wir benoetigen mehrdimensionale integration, d.h. wir \textbf{muessen} wissen von - wo bis wo wir integrieren wollen \\ \\ - \subsubsection{Beispiel, Ereignis gegeben + Verteilungsfunktion gegeben:} - $Ereignis: \: X_2 > 2X_1 \: => \: \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}}_{X_1} - \underbrace{\int_{2X_1}^{+\infty}}_{X_2}$\\ \\ \\ - $Verteilung: \: expotentiell \: => \: f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda t}$ \\ - $Ausserdem \: sei: \: \lambda_1 = 1 \:\, und \:\, \lambda_2 =2 $\\ \\ - Wir integrieren zunaechst ueber $X_2$ d.h. wir sezten $\lambda = 2$ - \[ - \begin{split} - \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{2X_1}^{+\infty} 2 e^{-2 X_2} \: dX_2 dX_1 - \end{split} - \] - Fuer $X_1$ setzen wir dann dementsprechend $\lambda e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = 1$ ein, dann nur noch das 2te Integral ausrechnen. - % \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation) - \subsubsection{Alternatives Beispiel:} - X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt +Wir benoetigen mehrdimensionale integration, d.h. wir \textbf{muessen} wissen von +wo bis wo wir integrieren wollen \\ \\ +\subsubsection{Beispiel, Ereignis gegeben + Verteilungsfunktion gegeben:} +$Ereignis: \: X_2 > 2X_1 \: => \: \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}}_{X_1} +\underbrace{\int_{2X_1}^{+\infty}}_{X_2}$\\ \\ \\ +$Verteilung: \: expotentiell \: => \: f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda t}$ \\ +$Ausserdem \: sei: \: \lambda_1 = 1 \:\, und \:\, \lambda_2 =2 $\\ \\ +Wir integrieren zunaechst ueber $X_2$ d.h. wir sezten $\lambda = 2$ +\[ + \begin{split} + \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{2X_1}^{+\infty} 2 e^{-2 X_2} \: dX_2 dX_1 + \end{split} +\] +Fuer $X_1$ setzen wir dann dementsprechend $\lambda e^{-\lambda t}$ mit $\lambda = 1$ ein, dann nur noch das 2te Integral ausrechnen. +% \\ \\ \textbf{Moeglichkeit b) - Nach $x_1$ oder $x_2$ umstellen} \\ (ggf. mit Koordinatentransformation) +\subsubsection{Alternatives Beispiel:} +X,Y stochastisch unabhaengige, mit Parameter 'p' geometrisch verteilte Zufallsvarriablen in Wahrscheinlichkeitsraum $(\varOmega , \mathcal{A},P)$. Welche Verteilung besitzt Zufallsvarriable $Z = min(X,Y)$, definiert durch $Z( \omega ) = min \{X(\omega),Y(\omega)\}$.\\ \section{Marginaldichte - Beispielrechnung} \[ -f(x_z,x_2)= + f(x_z,x_2)= \begin{cases} ce^{-(2x_1+3x_2)} & x_1 > 0 \: und \: 0 < x_2 =stealth',semithick}, - post/.style={->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick}, - mid/.style={-,shorten >=1pt,>=stealth',semithick}, - place/.style={circle,draw=red!50,fill=red!20,thick}] + \begin{tikzpicture}[ + bend angle=45, + scale = 1.5, + pre/.style={<-,shorten <=1pt,>=stealth',semithick}, + post/.style={->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick}, + mid/.style={-,shorten >=1pt,>=stealth',semithick}, + place/.style={circle,draw=red!50,fill=red!20,thick}] - \node[place] (A) at ( 0,0)[label=above:Before] {$(\Omega, A, P) $}; - \node[place] (B) at ( 2,0) {$(R^n, B_n, P^X)$} + \node[place] (A) at ( 0,0)[label=above:Before] {$(\Omega, A, P) $}; + \node[place] (B) at ( 2,0) {$(R^n, B_n, P^X)$} edge [pre] node [auto] {X} (A); \node[place, align=center] (C) at ( 2,-3) {$(R^m, B_m, P^G$} edge [pre] node [auto] {$Y = G \circ X$} (A) edge [pre] node [auto] {$G$} (B); -\end{tikzpicture} + \end{tikzpicture} \end{center} \vspace*{7pt} \textbf{Gegeben:} Man hat stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n$ gegeben mit @@ -331,7 +331,7 @@ unabhängig sind. J_{G}(x_1,x_2) = \text{det} \begin{pmatrix} \frac{x_2}{(x_1 + x_2)^2} & * \\ - 0 & 1 \\ + 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{x_2}{(x_1 + x_2)^2} \end{align} \item Umkehrabbildung $G^*$ berechnen. Alle Zufallsvariablen werden