2016-01-21 17:53:37 +01:00
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2017-10-05 14:14:40 +02:00
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\title { Mathe C4 Merz - Cheatsheet}
\author { greeny, nudelsalat, Sheppy\\ September 2015}
\date { Diesen Zusammenfassung kann Fehler enthalten!}
\begin { document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section { Statistik}
\subsection { empirisches arithmetisches Mittel}
\[ x _ { arith } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ n x _ i \]
\subsection { empirischer Median (Zentralwert)}
\[
x_ { median} =
\begin { cases}
\frac { x_ { n+1} } { 2} & \text { n ungerade} \\
\frac { x_ { n/2} \; \; + x_ { (n+1)/2} } { 2} & \text { n gerade}
\end { cases}
\]
Wobei der Index f\" ur die n'te Zahl in einer Angabe in Stile von \{ A,B,C,...\} steht.
\subsection { empirische korrigierte Varianz}
\[ x _ { var } = \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ n ( x _ i - x _ { arith } ) \]
\subsection { Regressionsgerade}
\textbf { Gauss'sche Normalengleichung}
Die Regressionsgerade wird mit der Gauss'schen Normalengleichung gel\" ost.
\begin { align}
\begin { pmatrix}
\sum x_ i^ 2 & \sum x_ i \\
\sum x_ i & n
\end { pmatrix}
\begin { pmatrix}
a \\
b
\end { pmatrix}
=
\begin { pmatrix}
\sum x_ i*y_ i \\
\sum y_ i
\end { pmatrix} \text { , mit $ i \in n $ }
\end { align}
$ \rightarrow $ Auflösen nach Parametern $ a,b $ .\\
\textbf { Regressionsgerade} :
\begin { align}
y(x) = a*x + b
\end { align}
\subsection { Maximum-Likelyhood Methode}
\textbf { Problembeschreibung} : Man m\" ochte f\" ur einen unbekannten Parameter $ \lambda $
einer Verteilung, die mindestens einen Parameter besitzt, einen Sch\" atzwert bestimmen
mithilfe einer konkreten Stichprobe $ ( x _ 1 , \ldots , x _ n ) $ .
\begin { enumerate}
\item Likelihood-Funktion $ L ( \lambda ) $ bilden f\" ur gegebene Verteilung
\begin { align}
L(\lambda ) = L(x_ 1, \ldots , x_ n; \lambda ) = = \prod _ { i=1} ^ n
\underbrace { f} _ { \text { Dichtefunktion} } (x_ i, \lambda )\\
\end { align}
Im Falle von Exponentialverteilung:\\
\begin { align}
\prod _ { i=1} ^ n \lambda e^ { -\lambda x_ i} = \lambda ^ n * e^ { -\lambda * \sum _ { i=1} ^ { n} x_ i}
\end { align}
\item Funktion $ L ( \lambda ) $ mit $ \ln $ multiplizieren\\
Rechenregeln f\" ur $ \ln $ :
\begin { itemize}
\item $ \ln a ^ b = b * \ln a $
\item $ \ln ( a * b ) = \ln a + \ln b $
\end { itemize}
\item Ableiten nach $ \lambda $ : $ \frac { \partial \ln * L ( \lambda ) } { \partial \lambda } $
\item Funktion gleich $ 0 $ setzen und nach $ \lambda $ aufl\" osen.
\end { enumerate}
\subsection { Konfidenzintervalle}
Standartwerte f\" ur Konfidenz:
\begin { align*}
90\% :z = 1.65\\
95\% :z = 1.96\\
99\% :z = 2.58
\end { align*}
\begin { align}
P(|\bar { x} -\mu | \geq c) = \alpha \\
\mu \in [\bar { x} - z_ { 1-\frac { \alpha } { 2} } * \frac { \sigma } { \sqrt { n} } ]
\end { align}
\subsection { Kovarianz}
Sind zwei Zufallsvariablen $ X _ 1 $ , $ X _ 2 $ stochastisch unabh\" angig dann
gilt:
\begin { align}
cov(X_ 1,X_ 2) = 0
\end { align}
Ansonsten:
\begin { align}
cov(X_ 1,X_ 2) = E(X_ 1X_ 2) - E(X_ 1)E(X_ 2)
\end { align}
\textbf { Erwartungswert} :
\begin { align}
EX = \sum _ { k \in \Omega } k * P(X = k) = \int _ { -\infty } ^ { \infty } x * f(x) dx
\end { align}
\textbf { Beispiel} :
Berechnen der Kovarianz der Zufallsvariablen $ Z _ 1 = X _ 1 - X _ 2 $ und $ Z _ 2 = X _ 1 $ ,
wenn der Zufallsvektor $ ( X _ 1 ,X _ 2 ) $ auf der Menge
\begin { align}
M = \{ (x_ 1,x_ 2)| 0 \leq x_ 2 \leq 2 \text { und } 0 \leq x_ 1 \leq x_ 2\}
\end { align}
\textbf { Gesucht} : $ cov ( Z _ 1 , Z _ 2 ) $
\begin { enumerate}
\item Kovavarianz umformen
\begin { align}
cov(Z_ 1, Z_ 2) = cov(X_ 1-X_ 2, X_ 1) = (E(X^ 2_ 1)-E(X_ 1)^ 2)-(E(X_ 2X_ 1)-E(X_ 2)E(X_ 1))
\end { align}
\item Die \textbf { Fl\" ache} $ A _ M $ unter Funktion berechnen: $ A _ M = 2 $ .\\
\item Die \textbf { Dichtefunktion} ist der Kehrwert von $ A _ M $ und damit $ \frac { 1 } { 2 } $ .
\begin { align}
f(x_ 1,x_ 2) =
\begin { cases}
\frac { 1} { 2} & x_ 1,x_ 2 \in M \\
0 & sonst
\end { cases}
\end { align}
\item Jetzt wieder mittels \textbf { Marginalsdichte} $ f ( x _ 1 ) $ und $ f ( x _ 2 ) $ bestimmen.
\begin { align}
f_ 1(x_ 1) = \int _ { x_ 1} ^ 2 f(x_ 1,x_ 2) dx_ 2\\
f_ 2(x_ 2) = \int _ { 0} ^ { x_ 2} f(x_ 1,x_ 2) dx_ 1
\end { align}
\item Berechnung der ben\" otigten Erwartungswerte $ E $ :
\begin { align}
E(X_ i) = \int _ { 0} ^ { 2} x_ i * f_ i(x_ i) dx\\
E(X_ i^ 2) = \int _ { 0} ^ { 2} x_ i^ 2 * f_ i(x_ i) dx\\
E(X_ 1X_ 2) = \underbrace { \int _ 0^ { 2} \int _ { 0} ^ { x_ 2} } _ { \text { Integration \" uber $ x _ 1 $ und
$ x _ 2 $ } } x_ 1*x_ 2*f(x_ 1,x_ 2) dx_ 1 dx_ 2
\end { align}
\item Einsetzen in umgeformte Kovarianzformel (siehe 1)
\end { enumerate}
\subsection { Markov-Ketten}
\begin { itemize}
\item Bei Übergangsmatrix $ P \in ( \mathbb { R } _ { \geq 0 } ) ^ { r x r } $ sind alle Zeilensummen gleich $ 1 $ .
\item Vektor $ \vec { u } \in ( \mathbb { R } _ { \geq 0 } ) ^ { r } $ mit $ || \vec { u } || _ 1 = 1 $
der
\begin { align}
\vec { u} = P^ T \cdot \vec { u}
\end { align}
erfüllt, heißt \textbf { Gleichgewichtszustand/-verteilung} .
\item \textbf { Berechnung} von $ \vec { u } $ : $ \text { Kern } ( P ^ T - \text { Id } _ r ) $ .\\ $ \rightarrow $
Kern wird berechnet durch klassischen Gauß- Algorithmus. Wenn keine
eindeutige Lsg (z.B. $ 0 = 0 $ ), dann Variable beliebig wählen. Es gibt
immer einen Kern, da Determinante $ 0 $ garantiert ist durch obige\\
Summenbedingung.
\item Vektoreinträge müssen positiv sein, sonst Fehler.
\item Vektor $ \vec { u } $ durch $ || \vec { u } || _ 1 $ (Summennorm) teilen.
\begin { align}
||\vec { u} ||_ 1 := \sum ^ n_ { i=1} |x_ i|
\end { align}
\end { itemize}
\section { Mengen}
\subsection { o-Algebra}
- leere Menge enthalten\\
- alle Kombinationen der Elemente enthalten, die nicht bereits gemeinsamme Elemente haben also z.B. \textbf { NICHT} \{ x,y\} und \{ y,z\} zu \{ x,y,z\} machen\\
- alle Komplemente enthalten\\ \\
\textbf { Beispiel:} \\
Grundmenge = $ \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} $ \\
NICHT o-Algebra Menge = $ \{ \{ 1 , 2 \} , \{ 3 \} \} $ \\
o-Algebra Menge = $ \{ \emptyset , \{ 1 , 2 \} , \{ 3 \} ,
\underbrace { \{ 1,2,3\} } _ { \substack { \{ 1,2\} \{ 3\} } } ,
\underbrace { \{ 3,4\} } _ { \substack { \neg \{ 1,2\} } } ,
\underbrace { \{ 4\} } _ { \substack { \neg \{ 1,2,3\} } } ,
\{ 1,2,3,4\} ,\{ 1,2,4\} \} $
\section { Wahrscheinlichkeiten}
\subsection { W\" urfeln}
\subsubsection { keine 6}
\[
p_ 0 = \left ( \frac { 5} { 6} \right )^ n , n = \text { Anzahl der W\" urfe}
\]
\subsubsection { mindestens 'x' 6er (Gegenereignis)}
\[
p_ 1 = 1 - \left ( \frac { 5} { 6} \right )^ n = 1 - p_ 0
\]
\[
p_ 2 = 1-\left (1 - \left ( \frac { 5} { 6} \right )^ n\right )-\left ( \frac { 5} { 6} \right )^ n = 1-p_ 1 -p_ 0
\]
\[
p_ x = 1 - \sum _ { i=0} ^ { x-1} p_ i
\]
\subsubsection { 6er-Pasch bei 2 W\" urfeln}
$ Ereignisraum = 6 ^ 2 , \text { Anzahl g \" unstiger Ereignisse = 1 , n \" ahmlich ( 6 , 6 ) } $ \\
dann wieder \" uber Gegenereignis: \\
\[ p = 1 - \left ( \frac { 35 } { 36 } \right ) ^ n \]
\subsubsection { genau eine 6 bei n-W\" urfeln/W\" urfen}
\[ p = \frac { n * 5 ^ { ( n - 1 ) } } { 6 ^ n } \] \\
- $ 6 ^ n $ ist wie immer die Anzahl der Gesamtm\" oglichkeiten \\
- es gibt n-Moglichkeiten an der die 6 sein kann \\
- es bleiben bei den verbleibenden n-1 W\" urfen 5 M\" oglichkeiten
\subsubsection { genau x-6er bei n-W\" urfeln/W\" urfen}
\[ p = \frac { \begin { pmatrix }
n\\ k
\end { pmatrix} 5^ { (n-k)} } { 6^ n} \] \\
\[ \begin { pmatrix }
n\\ k
\end { pmatrix} = \frac { n!} { k!(n-k)!}
\] \\
$ \textbf { oder noch allgemeiner, mit Anzahl M \" oglichkeiten 'z' ( z.B. 6 bei W \" urfel ) : } $ \[
p= \frac { \begin { pmatrix}
n\\ k
\end { pmatrix} (z-1)^ { (n-k)} } { z^ n}
\]
\subsubsection { X-Mal Werfen, min eine 3 unter der Bedingung min. eine 6}
A = min. eine 3 \\
B = min. eine 6 \\ \\
\textbf { gesucht:} \[ P ( A|B ) = \frac { P ( A \cap B ) } { P ( B ) } \]
\[ P ( B ) = 1 - P ( keine \; 6 ) = 1 - \left ( \frac { 5 } { 6 } \right ) ^ 4 = \frac { 625 } { 1296 } \]
\textbf { Idee:}
\begin { align*}
P(A\cap B) & = 1-P(\neg (A\cap B))\\
& = 1-P(\neg A \cup \neg B)\\
& = 1-P(\neg A) - P(\neg B) + P(\neg A \cap \neg B)\\
& = 1-P(keine\; 3)-P(keine\; 6)+P(weder\; 3\; noch\; 6)\\
& = 1-\left ( \frac { 5} { 6} \right )^ 4-\left ( \frac { 5} { 6} \right )^ 4-\left ( \frac { 4} { 6} \right )^ 4 = 1- \frac { 994} { 1296}
\end { align*}
...und das dann nur noch oben einsetzen und fertig.
\[ P ( A|B ) = \frac { P ( A \cap B ) } { P ( B ) } \]
also:
\[ P ( A|B ) = \frac { \frac { 994 } { 1296 } } { \frac { 625 } { 1296 } } \]
\subsubsection { Seiten mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten}
z.B. 6 Seiten mit normaler Wahrscheinlichkeit $ ( w _ 1 ) $ , 8 Seiten mit 1/4 Wahrscheinlichkeit
$ ( w _ 2 ) $ , wir exploiten die Tatsache, dass: \\ \[ \sum
(Teil-)Wahrscheinlichkeiten = 1 \] \\
also:\\
\begin { equation}
6w_ 1 + 8w_ 2 = 1 \end { equation}
\begin { equation}
\frac { 1} { 4} w_ 1 = w_ 2
\end { equation} \\
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, easy mode.
\section { Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
\subsection { Beispiele}
\subsubsection { Krankheitstest}
0,2\% Krank, 95\% der Kranken werden erkannt, 98\% der Gesunden werden richtig erkannt\\ \\
Ereignis $ A _ 1 $ : Person ist krank\\
Ereignis $ A _ 2 $ : Person ist gesund\\
Ereignis $ B $ : Test identifiziert Person als krank.\\
\textbf { Wie viele als Krank erkannte wirklich krank?} \\
\[
P(A_ 1 | B ) = \frac { P(B|A_ 1)*P(A_ 1)}
{ P(B|A_ 1)*P(A_ 1)+P(B| A_ 2)*P(A_ 2)} =
\frac { 0,95*0,002} { 0,95*0,002+0,002*0,998} = 8,7\%
\]
\vspace * { 10pt}
L\" osung mittels \textbf { Formel von Bayes} :
\begin { align}
P(B_ k/A) = \frac { P(A|B_ k) * P(B_ k)} { \sum _ { j \in J} P(A|B_ j) * P(B_ j)}
\end { align}
Dieser Vorgang wird auch \textbf { R\" uckw\" artsinduktion} genannt. Angenommen man
kennt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis unter einer gewissen Bedingung (hier Test
schl\" agt zu $ x \% $ an unter Bedingung Person ist krank $ P ( B|A _ 1 ) $ oder Person ist gesund
$ P ( B|A _ 2 ) $ ), dann kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit
mit dieser Formel berechnen. Hier: Wie wahrscheinlich ist es, dass Person krank ist, unter
Bedingung, dass Test das gemeldet hat $ P ( A _ 1 |B ) $ .
\subsubsection { min. eine 6 unter Bedingung verschiedene Augenzahlen}
\[
P(min. eine 6|verschiedene Augenzahlen) = \frac { \text { M\" oglichkeiten verschiedene Augenzahlen
UND min. eine 6} } { \text { M\" oglichkeiten verschiedene Augenzahlen} }
\] \\
\[
p=\frac { n*(6-1)!-(6-n)!} { 6!-n!}
\]
bei 3 W\" urfeln also z.B.:\[
p=\frac { 3*5!-3!} { 6!-3!} = \frac { 3*5*4} { 6*5*4} = 0,5
\]
\section { Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
\subsection { Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsfunktionen}
\[ \sum _ { w \in \Omega } f ( w ) = 1 \text { ( die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1 ) } \]
und logischerweise:
\[ \forall w \in \Omega . f ( w ) > = 0 \text { ( keine negativen Wahrscheinlichkeiten ) } \]
\subsection { Absoluten Momente diskreter Verteilungen}
Ist f\" ur $ k \in \{ 1 , 2 , 3 , \ldots \} $ die Summe $ \sum _ { x \in X } |x| ^ kf ( x ) < \infty $ ,
so heisst
\begin { align}
m_ k = m_ k(P) = \sum _ { x \in X} x^ kf(x)
\end { align}
das \textbf { k-te absolute Moment} der Verteilung P.
\subsubsection { Mittelwert, Varianz}
\begin { itemize}
\item Mittelwert: $ m _ 1 = m _ 1 ( P ) = \sum _ { n = 0 } ^ \infty n * f ( n ) $
\item Varianz: $ \widehat { m } _ 2 = m _ 2 - m _ 1 ^ 2 $
\end { itemize}
\subsubsection { Momenterzeugende Funktion}
\[
M(t)=\sum _ { n\in \Omega } ^ { \infty } (e^ t)^ n * f(n)
\]
- f(n) ist die gegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion\\
- 'n' k\" onnte z.B. definiert sein als $ n = \{ 1 , 2 , 3 ,... \} $
\vspace * { 15pt}
\textbf { Berechnungsvorschrift} f\" ur das k-te Moment:
\begin { enumerate}
\item Berechne k-te Ableitung $ M ^ k $ von $ M ( t ) $
\item $ m _ i = M ^ { ( k ) } ( 0 ) $
\end { enumerate}
\subsection { Erzeugende Funktion}
\subsubsection { Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen}
\textbf { Gegegeben:} Eine erzeugende Funktion $ \hat { f } ( z ) $ gegeben.
\begin { align}
\hat { f} (z) = \sum ^ { \infty } _ { k=0} f(k)z^ k
\end { align}
\textbf { Gesucht:} Die Funktion $ f ( k ) $
M\" oglichkeit 1: Taylorentwicklung
\begin { align}
\hat { f} (z) = \sum _ { k=0} ^ { \infty } \frac { 1} { k!} \hat { f} ^ { (k)} (0)z^ k\\
\Rightarrow f(k) = \frac { 1} { k!} \hat { f} ^ { k} (0)
\end { align}
M\" oglichkeit 2: Problem auf bekannte diskrete Verteilung zur\" uckf\" uhren (z.B. geometrische
Reihe)
\subsubsection { Mittelwert $ m _ 1 $ }
\begin { align}
M(t) = \hat { f} (e^ t)\\
m_ 1 = M'(t)|_ { t=0} = \hat { f} '(e^ t)e^ t|_ { t=0} = \hat { f} '(1)
\end { align}
\subsubsection { Varianz $ \hat { m } _ 2 $ }
\begin { enumerate}
\item Zuerst \textbf { zweites Moment} berechnen:
\begin { align}
m_ 2 = \hat { f} ''(1) + \hat { f} '(1) \rightarrow \text { , falls \textbf { Erzeugende-Funktion}
(hier)} \\
m_ 2 = \hat { f} ''(0) \rightarrow \text { , falls \textbf { Momenterzeugende-Funktion} }
\end { align}
\item Dann \textbf { Varianz} :
\begin { align}
\hat { m} _ 2 = m_ 2 - m_ 1^ 2
\end { align}
Siehe unten f\" ur $ m _ 2 $ Berechnungsvorschrift!
\end { enumerate}
\section { Verteilungen und Verteilungsfunktionen}
\subsection { Allgemein}
\subsubsection { Eigenschaften Verteilungsfunktionen}
\begin { itemize}
\item stetig
\item monoton steigend
\item $ \lim _ { t \to \infty } G ( t ) = 1 , \quad \lim _ { t \to - \infty } G ( t ) = 0 $
\item Dichte $ g ( t ) = G' ( t ) $
\item $ m _ 1 = \int _ { - \infty } ^ { \infty } t * g ( t ) dt $
\end { itemize}
\subsection { Binominalverteilung}
\subsubsection { Allgemein}
\[
\mathcal { B} (k | p,n) \enspace \textbf { oder auch } \enspace B(k;p,n) =
\begin { pmatrix} n \\ k \end { pmatrix} p^ k(1-p)^ { n-k} \enspace \newline
\text { mit k = 0,1,2,...,n} \]
- wobei diese Funktion die \textbf { kumulierte} Wahrscheinlichkeit angibt, also z.B.
wobei k = 2 die Wahrscheinlichkeit "1 oder 2"
\\ - p ist die Wahrscheinlichkeit f\" ur ein positives Ereignisse
\\ - n ist Anzahl wie oft wir ziehen
\subsubsection { Beispiel: 500 Druckfehler auf 500 Seiten}
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer Seite mindestens 3 Druckfehler
sind?
\[
1- \sum _ { k=0} ^ { 2} \mathcal { B} (k,p,n) \enspace mit \enspace \] \\
k=0,1,2 (Gegenereignisse)\\ n = 500
(wir ziehen Fehler "ohne zur\" ucklegen") \\ p=1/500 (die Wahrscheinlichkeit dass
ein Fehler auf einer bestimmten Seite ist)\\
\begin { equation*}
\begin { split}
1- \sum _ { k=0} ^ { 2} \mathcal { B} (k|1/500,500)
& = 1 - \mathcal { B} (0|1/500,500) - \mathcal { B} (1|1/500,500) - \mathcal { B} (2|1/500,500) \\
& = 1 - \left ( \frac { 499} { 500} \right ) ^ { 500} - 500\frac { 1} { 500} \left (\frac { 499} { 500} \right )^ { 499} - \frac { 500*499} { 1*2} \left ( \frac { 1} { 500} \right ) ^ 2 \left ( \frac { 499} { 500} \right ) ^ { 498} \\ & = 0,08
\end { split}
\end { equation*}
\subsection { Poisson-Verteilung}
\subsubsection { Allgemein}
Ereignisse m\" ussen mit konstanter Rate, unabh\" angig voneinander und in einem festen
Bereich (Modell) stattfinden!
\[
P_ { \lambda } (n) = \frac { \lambda ^ n} { n!} e ^ { - \lambda }
\]
\subsection { Normal-Verteilung $ \mathcal { N } ( \mu , \sigma ^ 2 ) $ }
$ f ( x ) = N ( \mu , \sigma ^ 2 ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ 2 } } * e ^ { - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ 2 } ( x -
\mu )^ 2} \quad \quad m_ 1 = \mu \quad \quad \widehat { m} _ 2=\sigma ^ 2$
\subsubsection { $ \mathcal { N } ( 0 , 1 ) $ -Verteilung}
$ f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } * e ^ { - 0 . 5 x ^ 2 } $
\subsection { Exponentiallverteilung}
\textbf { Dichtefunktion} :
\begin { align} f_ \lambda (x) =
\begin { cases}
\lambda * e^ { -\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x < 0
\end { cases}
\end { align}
\textbf { Verteilungsfunktion} :
\begin { align} F(x) = \int _ 0^ x f_ \lambda (t) dt =
\begin { cases}
1 - e^ { -\lambda x} & x \geq 0 \\
0 & x < 0
\end { cases}
\end { align}
\subsection { Laplace-Verteilung}
Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. \\
$ f ( w ) = L ( \Omega ) = \frac { 1 } { | \Omega | } $
\subsection { Hypergeometrische Verteilung}
Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. \\
$ f ( k ) = H ( N, K, n ) = \frac { \binom { K } { k } * \binom { N - K } { n - k } } { \binom { N } { n } } $
\subsection { Geometrische Verteilung}
Die geometrische Verteilung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten
eines Ereignisses unter der Annahme der Ged\" achtnislosigkeit. \\
$ G ( p ) = f ( n ) = p * q ^ { n - 1 } \quad \quad m _ 1 = \frac { 1 } { p } $
\subsection { Uniform-Verteilung $ \mathcal { U } ( a,b ) $ }
\textbf { Dichtefunktion} :
\begin { align} f(x) =
\begin { cases}
\frac { 1} { b - a} & a \leq x \leq b \\
0 & sonst
\end { cases}
\end { align}
\textbf { Verteilungsfunktion} :
\begin { align} F(x) =
\begin { cases}
0 & x \leq a\\
\frac { x - a} { b - a} & a < x < b \\
1 & x \geq b\\
\end { cases}
\end { align}
\section { Zufallsvariablen}
\subsection { Dichten von Verteilungen von Zufallsvariablen}
\textbf { Problembeschreibung} : Berechnung von Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses $ ( X _ 1 > a * X _ 2 ) $ o.\" a.
Zufallsvariablen $ X _ 1 , X _ 2 $ sind dabei stochastisch
unabh\" angig. Die Verteilungen von $ X _ i $ haben dabei die Dichten
$ f _ i $ .\\
Somit gilt nach der Marginalsdichte: $ f ( x _ 1 ,x _ 2 ) = f _ 1 ( x _ 1 ) * f _ 2 ( x _ 2 ) $ .
\begin { align}
P(X_ 1 > a * X_ 2) = \int \int _ { x_ 1>a*x_ 2} f_ 1(x_ 1)*f_ 2(x_ 2) dx_ 1dx_ 2 := I
\end { align}
In Abh\" angigkeit von Reihenfolge, in der die Integration \" uber die Variablen
$ x _ 1 $ und $ x _ 2 $ durchgef\" uhrt werden, ergeben sich zwei Darstellungen:
\begin { align}
I = \int _ { -\infty } ^ { \infty } f_ 1(x_ 1)F_ 2(\frac { 1} { a} x_ 1)dx_ 1\\
I = \int _ { -\infty } ^ { \infty } f_ 2(x_ 2)(1 - F_ 1(ax_ 2))dx_ 2
\end { align}
Siehe auch L\" osungssammlung Aufgabe $ 98 $ ff.
\subsubsection { Beispiel}
Die Zufallsvariablen $ X _ 1 $ und $ X _ 2 $ seien uniform verteilt auf
$ [ 0 , 2 ] $ . Berechnen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $ ( X _ 1 X _ 2 \leq \frac { 1 } { 2 } ) $ .
\begin { align}
M = \{ (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb { R} ^ 2 | 0 \leq x_ 1,x_ 2 \leq 2\} \\
f(x_ 1,x_ 2) =
\begin { cases}
f(x_ 1)*f(x_ 2) = \frac { 1} { 4} & \text { f\" ur } (x_ 1,x_ 2) \in M \\
0 & \text { sonst}
\end { cases}
\end { align}
Borelsche Menge:
\begin { align}
B = \{ (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb { R} ^ 2 | x_ 1*x_ 2 \leq \frac { 1} { 2} \ = x_ 2 \leq \frac { 1} { 2 x_ 1} \} \\
P(x_ 1x_ 2 \leq \frac { 1} { 2} ) = \int _ B f(x_ 1, x_ 2) d(x_ 1, x_ 2) = \int 1_ B*1_ M*\frac { 1} { 4}
d(x_ 1,x_ 2)\\
\int 1_ { B \cap M} * \frac { 1} { 4} d(x_ 1,x_ 2)
\end { align}
Schnittmenge aus $ B $ und $ M $ :
2016-01-21 18:11:05 +01:00
2016-01-21 17:53:37 +01:00
\begin { align}
B \cap M = \{ (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb { R} ^ 2\ | (0 \leq x_ 1 \leq \frac { 1} { 4} \wedge 0 \leq x_ 2 \leq
2) \vee (\frac { 1} { 4} \leq x_ 1 \leq 2 \wedge 0 \leq x_ 2 \leq \frac { 1} { 2x_ 1} )\} \\
\longrightarrow
P(x_ 1x_ 2 \leq \frac { 1} { 2} ) = \int ^ { \frac { 1} { 4} } _ { 0} \int ^ 2_ 0 \frac { 1} { 4} dx_ 1dx_ 2
+ \int ^ 2_ { \frac { 1} { 4} } \int ^ { \frac { 1} { 2x_ 1} } _ 0 \frac { 1} { 4} dx_ 2 dx_ 1
\end { align}
\subsection { Erwartungswert $ \varepsilon $ diskreter Zufallsvariablen}
Falls der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen $ X $ auf
einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum $ ( \Omega , \mathcal { A } , P ) $ existiert,
ist
\begin { align}
\varepsilon _ P X = \sum _ { \omega \in \Omega } X(\omega )P\{ \omega \}
\end { align}
2016-01-21 18:11:05 +01:00
\newpage
2016-01-21 17:53:37 +01:00
\section { Marginaldichte - Beispielrechnung}
\[
f(x_ 1,x_ 2)=
\begin { cases}
ce^ { -(2x_ 1+3x_ 2)} & x_ 1 > 0 \: und \: 0 < x_ 2 <x_ 1 \\
0 & sonst
\end { cases}
\]
Marginaldichte:
\[
\begin { split}
f_ 1(x_ 1) & = \overbrace { \int _ { 0} ^ { x_ 1} } ^ { \text { Grenzen von } x_ 2} f(x_ 1,x_ 2) dx_ 2 \\
& = \int _ { 0} ^ { x_ 1} ce^ { -2x_ 1} e^ { -3x_ 2} \: dx_ 2 \\
& = \underbrace { c*e^ { -2x_ 1} } _ { \text { Konstante, da Integration nach} \: x_ 2}
\overbrace { \int _ { 0} ^ { x_ 1} e^ { -3x_ 2} \: dx_ 2} ^ { mit \: 0 \: und \: x_ 1 \: einsetzen \: integrieren} \\
& = ce^ { -2x_ 1} \, \frac { 1} { 3} (1-e^ { -3x_ 2} )
\end { split}
\]
Gegebenenfalls konnen wir das gleiche auch mit $ dx _ 2 $ tun wenn das einfach zur integrieren ist oder nach beiden Marginaldichten gefragt ist.
Damit $ f ( x _ 1 ,x _ 2 ) $ und $ f _ 2 ( x _ 2 ) $ Dichten sind muss gelten:
\[
\int f_ 2(x_ 2) dx_ 2 = 1
\]
bzw:
\[
\int \int f(x_ 1,x_ 2) dx_ 1 dx_ 2 = 1
\]
\section { Transformation von Dichten}
\begin { center}
\begin { tikzpicture} [
bend angle=45,
scale = 1.5,
pre/.style={ <-,shorten <=1pt,>=stealth',semithick} ,
post/.style={ ->,shorten >=1pt,>=stealth',semithick} ,
mid/.style={ -,shorten >=1pt,>=stealth',semithick} ,
place/.style={ circle,draw=red!50,fill=red!20,thick} ]
\node [place] (A) at ( 0,0)[label=above:Before] { $ ( \Omega , A, P ) $ } ;
\node [place] (B) at ( 2,0) { $ ( R ^ n, B _ n, P ^ X ) $ }
edge [pre] node [auto] { X} (A);
\node [place, align=center] (C) at ( 2,-3) { $ ( R ^ m, B _ m, P ^ G $ }
edge [pre] node [auto] { $ Y = G \circ X $ } (A)
edge [pre] node [auto] { $ G $ } (B);
\end { tikzpicture}
\end { center}
\vspace * { 7pt}
\textbf { Gegeben:} Man hat stochastisch unabhängige Zufallsvariablen $ X _ 1 , \ldots , X _ n $ gegeben mit
Art der Verteilung.
\textbf { Gesucht:} Verteilung von Zufallsvariable $ Y $ , die sich aus $ X _ i $ berechnen lässt.
\textbf { Beispiel:} \\
Welche Verteilung besitzt
\begin { align}
Y = \frac { X_ 1} { X_ 1 + X_ 2}
\end { align}
falls $ X _ 1 $ und $ X _ 2 $ exponentiell verteilt mit Paramter $ \lambda $ und stochastisch
unabhängig sind.
\begin { enumerate}
\item Wegen Unabhängigkeit der Variablen $ X _ 1 $ und $ X _ 2 $ besitzt $ P ^ X $
die Dichte $ f ( x _ 1 ,x _ 2 ) = f _ 1 ( x _ 1 ) f _ 2 ( x _ 2 ) $ .
\item $ M = { ( x _ 1 , x _ 2 ) ; x _ 1 > 0 \text { und } x _ 2 > 0 } $ \\
$ \longrightarrow $ Wertebereich von $ x _ n $ anhand von Verteilung ermitteln.
\item Gleichungen $ G ( x ) $ definieren:
\begin { align}
y_ 1 & = \frac { x_ 1} { x_ 1 + x_ 2} \\
y_ 2 & = x_ 2
\end { align}
\item Funktionaldeterminante ($ J _ { G } ( x ) $ ) der Abbildung $ G $ berechnen
\begin { align}
J_ { G} (x) =
\text { det} \begin { pmatrix}
\frac { \partial G_ 1} { \partial x_ 1} (x) & \cdots & \frac { \partial G_ 1} { \partial x_ n} (x) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac { \partial G_ n} { \partial x_ 1} (x) & \cdots & \frac { \partial G_ n} { \partial x_ n} (x) \\
\end { pmatrix} \\
J_ { G} (x_ 1,x_ 2) =
\text { det} \begin { pmatrix}
\frac { x_ 2} { (x_ 1 + x_ 2)^ 2} & * \\
0 & 1 \\
\end { pmatrix} = \frac { x_ 2} { (x_ 1 + x_ 2)^ 2}
\end { align}
\item Umkehrabbildung $ G ^ * $ berechnen. Alle Zufallsvariablen werden
werden mittels Funktionen verändert: z.B: $ y _ 1 = x _ 1 / x _ 2 $ .
Jede i-te Funktion nach $ x _ i $ auflösen.
\begin { align}
x1 = \frac { y_ 1y_ 2} { 1 - y_ 1} \\
x_ 2 = y_ 2
\end { align}
\item Gesuchte Funktion: $ g ( y ) = f ( G ^ * ( y ) ) \frac { 1 } { |J _ G ( G ^ * ( y ) ) | } $ \\
$ \longrightarrow $ Setze für alle $ x _ i $ dementsprechend $ y _ i $ ein und multipliziere
mit Kehrwehrt von Funktionaldeterminante.
\begin { align}
g(y_ 1,y_ 2) = \lambda ^ 2e^ { -\frac { \lambda } { 1 - y_ 1} } \frac { y_ 2} { (1-y_ 1)^ 2}
\end { align}
\item Mit Marginaldichte $ g _ 1 ( y _ 1 ) $ berechnen:\\
\begin { align}
g_ 1(y_ 1) = \frac { \lambda } { 1 - y_ 1} \int ^ \infty _ 0 y_ 2\frac { \lambda } { 1 - y_ 1}
e^ { -\frac { \lambda } { 1 - y_ 1} } dy_ 2\\
= \frac { \lambda } { 1 - y_ 1} m_ 1 (\varepsilon (\frac { \lambda } { 1 - y_ 1} ))\\
= 1
\end { align}
$ \longrightarrow $ Da Mittelwert der $ \varepsilon $ -Verteilung gerade Kehrwert des
Paramters ist.
\item Folgerung: Dichte $ g _ 1 $ ist also die der Uniform-Verteilung ($ U ( 0 , 1 ) $ ).
\end { enumerate}
\end { document}
